三维空间中直线的多种表示方法

无论是二维还是三维空间的直线方程，它们都是用来描述满足特定条件的所有点的集合，即直线的轨迹。虽然两者都描述直线，但二维空间直线方程更多地与平面几何相关，表示平面内满足某一条件的所有点的集合。而三维空间直线方程则与立体几何相关，表示空间中满足某一条件的所有点的轨迹，具有更复杂的几何意义。
在二维空间中，直线方程除了一般方程外，还有参数方程、斜截式。而在三维空间中，由于坐标轴的增多，其表示形式也更多，其中参数方程形式更为常用和直观。

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表示方法	核心公式
一般方程	$$\begin{array}{c}{A}_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_1=0,\\ A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_2=0.\end{array}$$
参数方程	$\mathbf{r}={\mathbf{r}}_0+t\mathbf{v}$
对称式	$\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c}$
两点式	$\frac{x-x_1}{x_2-x_1}=\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{z-z_1}{z_2-z_1}$
Plücker坐标	$\mathbf{L}=(\mathbf{v},{\mathbf{r}}_0\times \mathbf{v})$

应用
‌动态分析‌：参数方程或向量式。
‌几何直观‌：对称式或两点式。
‌高效计算‌：Plücker坐标。

1. 参数方程（向量形式）

由直线上一点$P_0(x_0,y_0,z_0)$和方向向量$\mathbf{v}=(a,b,c)$确定，形式为：

$$\{\begin{array}{l}x=x_0+at\\ y=y_0+bt\\ z=z_0+ct\end{array}$$

2. 对称式方程（点向式）

3. 一般方程（两平面交线）

4. 两点式方程

也可以作如下表示：

5. Plücker坐标（高级方法）

注意事项：

对称式方程需处理分母为零的情况（如固定坐标分量）。

交面式方程需确保两平面确实相交于一条直线，而非平行或重合。

参数方程和两点式本质相同，均通过方向向量参数化直线。

这些方法在不同场景下各有优势，参数方程便于生成点，对称式直观，交面式适合代数分析，而Plücker坐标适用于几何计算。

6. 方法对比与选择建议

空间直线及其方程