差分（附带例题题解）

什么是差分

差分数组的核心思想是 记录相邻元素的差值，而不是直接存储原始数据。通过维护差分数组，我们可以高效地实现区间增量操作。

1.1 差分数组的定义

给定原数组 a[1..N]，其差分数组 diff[1..N] 定义为：

• diff[1] = a[1]
• diff[i] = a[i] - a[i-1] （i > 1）

示例：

• 原数组：a = [1, 3, 5, 7, 9]
• 差分数组：diff = [1, 2, 2, 2, 2]

1.2 差分数组的作用

差分数组可以快速还原原数组：

• a[1] = diff[1]
• a[i] = a[i-1] + diff[i] （i > 1）

更重要的是，差分数组支持 O(1) 时间的区间增量操作。

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2. 区间增量操作

假设我们需要对原数组的区间 [L, R] 中的所有元素加上 val，即：

• a[L] += val
• a[L+1] += val
• ...
• a[R] += val

如果直接遍历修改，时间复杂度是 O(R - L + 1)，最坏情况下是 O(N)。

2.1 差分数组的优化方法

差分数组通过以下方式实现 O(1) 时间的区间增量：

1. 在 L 处增加 val：diff[L] += val
2. 在 R+1 处减少 val（如果 R+1 不越界）：diff[R+1] -= val

为什么这样有效？

• 差分数组的前缀和就是原数组，因此：
  • a[L] 会增加 val（因为 diff[L] 增加了 val）。
  • a[L+1..R] 也会增加 val（因为它们依赖于 a[L] 的累加）。
  • a[R+1] 不会受到影响（因为 diff[R+1] 减少了 val，抵消了前面的增量）。

例题

区间更新

link：1.区间更新 - 蓝桥云课

code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;int n, m;
int a[100007], diff[100007];void init()
{for(int i = 1; i <= n; i++){diff[i] = a[i] - a[i - 1];}
}void fc(int x, int y, int z)
{diff[x] += z;diff[y + 1] -= z;
}void update()
{for(int i = 1; i <= n; i++){a[i] = diff[i] + a[i - 1];}
}int main()
{while(cin>>n>>m){for(int i = 1; i <= n; i++) cin>>a[i];init();for(int i = 1; i <= m; i++) {int x, y, z; cin>>x>>y>>z;fc(x, y, z);}update();for(int i = 1; i <= n; i++) cout<<a[i]<<" ";cout<<endl;}return 0;
}

小明的彩灯

link：1.小明的彩灯 - 蓝桥云课

code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll = long long;
const int MAXN = int(5e5 + 7);
int N, Q;
ll a[MAXN], diff[MAXN];int main()
{cin>>N>>Q;for(int i = 1; i <= N; i++) cin>>a[i];for(int i = 1; i <= N; i++) diff[i] = a[i] - a[i - 1];while(Q--){int l, r, x; cin>>l>>r>>x;diff[l] += x;diff[r + 1] -= x;}for(int i = 1; i <= N; i++) a[i] = diff[i] + a[i-1];for(int i = 1; i <= N; i++) cout<<max(0ll, a[i])<<" ";return 0;
}