【高等数学】第九章 多元函数微分法及其应用——第七节 方向导数与梯度

上一节：【高等数学】第九章 多元函数微分法及其应用——第六节 多元函数微分学的几何应用
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1. 方向导数

• 定义
  设$l$是$xOy$平面上以$P_0(x_0,y_0)$为始点的一条射线，${\mathbf{e}}_l=(\cos \alpha ,\cos \beta )$是与$l$同方向的单位向量．
  射线$l$的参数方程为$$\{\begin{array}{l}x=x_0+t\cos \alpha ,\\ y=y_0+t\cos \beta \end{array}(t⩾0).$$ 设函数$z=f(x,y)$在点$P_0(x_0,y_0)$的某个邻域$U(P_0)$内有定义，$P(x_0+t\cos \alpha ,y_0+t\cos \beta )$为$l$上另一点，且$P\in U(P_0)$．如果函数增量$f(x_0+t\cos \alpha ,y_0+t\cos \beta )-f(x_0,y_0)$与$P$到$P_0$的距离$|P{P}_0|=t$的比值$$\frac{f(x_0+t\cos \alpha ,y_0+t\cos \beta )-f(x_0,y_0)}{t}$$当$P$沿着$l$趋于$P_0$（即$t\to 0^{+}$）时的极限存在，那么称此极限为函数$f(x,y)$在点$P_0$沿方向$l$的方向导数，记作${\frac{\partial f}{\partial l}|}_{(x_0,y_0)}$，即$${\frac{\partial f}{\partial l}|}_{(x_0,y_0)}=\underset{t\to 0^{+}}{\lim }\frac{f(x_0+t\cos \alpha ,y_0+t\cos \beta )-f(x_0,y_0)}{t}.$$方向导数${\frac{\partial f}{\partial l}|}_{(x_0,y_0)}$就是函数$f(x,y)$在点$P_0(x_0,y_0)$处沿方向$l$的变化率
  若函数$f(x,y)$在点$P_0(x_0,y_0)$的偏导数存在，
  令${\mathbf{e}}_l=(1,0)$，${\frac{\partial f}{\partial l}|}_{(x_0,y_0)}=\underset{t\to 0^{+}}{\lim }\frac{f(x_0+t,y_0)-f(x_0,y_0)}{t}=f_x(x_0,y_0)$
  令${\mathbf{e}}_l=(0,1)$，${\frac{\partial f}{\partial l}|}_{(x_0,y_0)}=\underset{t\to 0^{+}}{\lim }\frac{f(x_0,y_0+t)-f(x_0,y_0)}{t}=f_y(x_0,y_0)$
• 方向导数的计算
  如果函数$f(x,y)$在点$P_0(x_0,y_0)$可微分，
  那么函数在该点沿任一方向$l$的方向导数存在，且有$${\frac{\partial f}{\partial l}|}_{(x_0,y_0)}=f_x(x_0,y_0)\cos \alpha +f_y(x_0,y_0)\cos \beta$$其中$\cos \alpha$和$\cos \beta$是方向$l$的方向余弦．

  $$f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)=f_x(x_0,y_0)\Delta x+f_y(x_0,y_0)\Delta y+o\left(\sqrt{(\Delta x{)}^2+(\Delta y{)}^2}\right).$$
  令$\Delta x=t\cos \alpha ,\Delta y=t\sin \alpha ,\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}=t$
  ${\frac{\partial f}{\partial l}|}_{(x_0,y_0)}=\underset{t\to 0^{+}}{\lim }\frac{f(x_0+t\cos \alpha ,y_0+t\cos \beta )-f(x_0,y_0)}{t}=f_x(x_0,y_0)\cos \alpha +f_y(x_0,y_0)\cos \beta$

• 推广到三元函数
  对于三元函数$f(x,y,z)$来说，它在空间一点$P_0(x_0,y_0,z_0)$沿方向${\mathbf{e}}_l=(\cos \alpha ,\cos \beta ,\cos \gamma )$的方向导数为$${\frac{\partial f}{\partial l}|}_{(x_0,y_0,z_0)}=\underset{t\to 0^{+}}{\lim }\frac{f(x_0+t\cos \alpha ,y_0+t\cos \beta ,z_0+t\cos \gamma )-f(x_0,y_0,z_0)}{t}.$$同样可以证明：如果函数$f(x,y,z)$在点$(x_0,y_0,z_0)$可微分，那么函数在该点沿着方向${\mathbf{e}}_l=(\cos \alpha ,\cos \beta ,\cos \gamma )$的方向导数为$${\frac{\partial f}{\partial l}|}_{(x_0,y_0,z_0)}=f_x(x_0,y_0,z_0)\cos \alpha +f_y(x_0,y_0,z_0)\cos \beta +f_z(x_0,y_0,z_0)\cos \gamma$$

2. 梯度

• 二元函数情形下的定义
  在二元函数的情形，设函数$f(x,y)$在平面区域$D$内具有一阶连续偏导数，则对于每一点$P_0(x_0,y_0)\in D$，都可定出一个向量$$f_x(x_0,y_0)\mathbf{i}+f_y(x_0,y_0)\mathbf{j},$$这向量称为函数$f(x,y)$在点$P_0(x_0,y_0)$的梯度，记作$\mathbf{grad}f(x_0,y_0)$或$\nabla f(x_0,y_0)$，即$$\mathbf{grad}f(x_0,y_0)=\nabla f(x_0,y_0)=f_x(x_0,y_0)\mathbf{i}+f_y(x_0,y_0)\mathbf{j}.$$
  其中$\nabla =\frac{\partial }{\partial x}\mathbf{i}+\frac{\partial }{\partial y}\mathbf{j}$称为（二维的）向量微分算子或$\text{Nabla}$算子，$\nabla f=\frac{\partial f}{\partial x}\mathbf{i}+\frac{\partial f}{\partial y}\mathbf{j}$。
• 梯度与方向导数的关系
  如果函数$f(x,y)$在点$P_0(x_0,y_0)$可微分，${\mathbf{e}}_l=(\cos \alpha ,\cos \beta )$是与方向$l$同向的单位向量，
  那么$$\begin{array}{rl}{\frac{\partial f}{\partial l}|}_{(x_0,y_0)}& =f_x(x_0,y_0)\cos \alpha +f_y(x_0,y_0)\cos \beta \\ & =\mathbf{grad}f(x_0,y_0)\cdot {\mathbf{e}}_l=|\mathbf{grad}f(x_0,y_0)|\cos ⟨\mathbf{grad}f(x_0,y_0),{\mathbf{e}}_l⟩\end{array}$$函数在梯度方向的方向导数达到最大值，此时函数值的变化最快，方向导数的大小等于梯度的模
• 等值线
  用平面$z=c$截$z=f(x,y)$的曲线在$xOy$平面的投影$f(x,y)=c$，在该投影上函数值都为$c$，因此该投影也称为等值线
  等值线函数在任一点$P_0(x_0,y_0)$处的方向导数都为$0$，因此等值线函数的梯度方向垂直于等值线。
  若$f_x,f_y$不同时为零，则等值线$f(x,y)=c$上任一点$P_0(x_0,y_0)$处的一个单位法向量为$\mathbf{n}=\frac{\nabla f(x_0,y_0)}{|\nabla f(x_0,y_0)|}$
• 推广到三元函数
  设函数$f(x,y,z)$在空间区域$G$内具有一阶连续偏导数,则对于每一点$P_0(x_0,y_0,z_0)\in G$,都可定出一个向量$$f_x(x_0,y_0,z_0)\mathbf{i}+f_y(x_0,y_0,z_0)\mathbf{j}+f_z(x_0,y_0,z_0)\mathbf{k},$$这向量称为函数$f(x,y,z)$在点$P_0(x_0,y_0,z_0)$的梯度, 将它记作$\mathbf{grad}f(x_0,y_0,z_0)$或$\nabla f(x_0,y_0,z_0)$, 即$$\mathbf{grad}f(x_0,y_0,z_0)=\nabla f(x_0,y_0,z_0)=f_x(x_0,y_0,z_0)\mathbf{i}+f_y(x_0,y_0,z_0)\mathbf{j}+f_z(x_0,y_0,z_0)\mathbf{k}.$$其中$\nabla =\frac{\partial }{\partial x}\mathbf{i}+\frac{\partial }{\partial y}\mathbf{j}+\frac{\partial }{\partial z}\mathbf{k}$称为(三维的)向量微分算子或$\text{Nabla}$算子, $\nabla f=\frac{\partial f}{\partial x}\mathbf{i}+\frac{\partial f}{\partial y}\mathbf{j}+\frac{\partial f}{\partial z}\mathbf{k}$.
  经过与二元函数的情形完全类似的讨论可知，三元函数$f(x,y,z)$在一点的梯度$\nabla f$是这样一个向量，它的方向是函数$f(x,y,z)$在这点的方向导数取得最大值的方向，它的模就等于方向导数的最大值。
  如果引进曲面$f(x,y,z)=c$为函数$f(x,y,z)$的等值面的概念，那么可得函数$f(x,y,z)$在一点$(x_0,y_0,z_0)$的梯度$\nabla f(x_0,y_0,z_0)$的方向就是等值面$f(x,y,z)=c$在这点的法线方向$\mathbf{n}$，而梯度的模$|\nabla f(x_0,y_0,z_0)|$就是函数沿这个法线方向的方向导数$\frac{\partial f}{\partial n}$。
• 数量场与向量场
  如果对于空间区域$G$内的任一点$M$，都有一个确定的数量$f(M)$，
  那么称在这空间区域$G$内确定了一个数量场（例如温度场、密度场等）。
  一个数量场可用一个数量函数$f(M)$来确定。
  如果与点$M$相对应的是一个向量$\mathbf{F}(M)$，
  那么称在这空间区域$G$内确定了一个向量场（例如力场、速度场等）。
  一个向量场可用一个向量值函数$\mathbf{F}(M)$来确定，而$$\mathbf{F}(M)=P(M)\mathbf{i}+Q(M)\mathbf{j}+R(M)\mathbf{k},$$其中$P(M),Q(M),R(M)$是点$M$的数量函数。
  若向量场$\mathbf{F}(M)$是某个数量函数$f(M)$的梯度，
  则称$f(M)$是向量场$\mathbf{F}(M)$的一个势函数，并称向量场$\mathbf{F}(M)$为势场。
  由此可知，由数量函数$f(M)$产生的梯度场$\mathbf{grad}f(M)$是一个势场。
  但需注意，任意一个向量场并不一定都是势场，因为它不一定是某个数量函数的梯度。

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