【CF】Day129——杂题 (状压DP + 图论 | 贪心 + 数论 + 构造 | 构造 + 贪心 | 构造 + 模拟)
D. A Simple Task
题目：
思路：
没想到图也能结合状压DP
本题注意到题目的数据给的很小，n 只有 19，所以不妨考虑状态压缩
我们如果要找到环的话，那么我们需要知道什么呢？一个是走了哪些点，一个是初始点，一个是末尾点
我们分析一下如果我们要找到环，那么肯定就是末尾点等于初始点，所以我们可以定义一个dp，就是 f[i][j] 表示当前状态为 i，终点为 j 的方案数，由于还要知道起始点，这里我们直接将 i 也利用上，最后定义变为：当前状态为 i，且起始点是 i 的最低位，终点为 j 的方案数
对于初始化，显然我们以 j 为起点，状态只走过 j 的方案数都是 1
那么转移也很简单了，看代码即可
特别要注意的就是最后的答案了，我们求出来的答案其实包含了二元环，即每条边，同时由于这个图是无向的，所以我们还需要除以二，因为每条边都可以回走一次，即走两遍
代码：
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
#define yes cout << "YES\n"
#define no cout << "NO\n"
mt19937 rnd(chrono::steady_clock::now().time_since_epoch().count());int n, m;
//状态为 i，且终点为 j 的方案数，其中 i 的最低位为出发点
int f[1 << 20][20];
vector<vector<int>> g(20);
int ans = 0;int lowbit(int x)
{return x & (-x);
}void solve()
{cin >> n >> m;for (int i = 0; i < m; i++){int u, v;cin >> u >> v;u--, v--;g[u].push_back(v);g[v].push_back(u);}for (int i = 0; i < n; i++){f[1 << i][i] = 1;//初始化}for (int state = 1; state < 1 << n; state++){for (int i = 0; i < n; i++){//跳过非法状态if(!f[state][i]) continue;for(auto & son : g[i]){int son_w = 1 << son;//如果下一个走到点比起始值小的话，那么显然不行，这样就不符合定义了if(lowbit(state) > son_w){continue;}//如果之前走过if(state & son_w){//并且还是出发点if(lowbit(state) == son_w){//累加答案ans += f[state][i];}}else{//否则转移f[state | son_w][son] += f[state][i];}}} } // 删除二元环，同时由于无向图同一条边会走两边，所以还要除以 2cout << (ans - m) / 2 << endl;
}signed main()
{ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(nullptr);int t = 1;while (t--){solve();}return 0;
}C. Almost All Multiples
题目：
思路：
本题关键点在于找到无解的性质，同时推出之后的条件
我们先来看看什么情况下无解好了，首先如果我们选走了 x，那么原来的 p[x] = x 的位置就会空出来，所以说就有以下情况：假如我们一共有 c 个 x 的倍数，那么就说明有 c 个位置是给我们填的，但是由于现在我们 p[x] = x 的位置空了，且 c 的倍数少了一个，那么现在就变成了 c-1 个 x 的倍数去填 c 个位置了，同时 p[n] = 1，即 p[n] 这个位置可以不考虑，那么显然我们可以往这方面想，如果 n 是 x 的倍数，那么显然现在 p[n] 位置没了，而 x 没了，那么显然就刚好平衡了
所以结论就是：当 x 不是 n 的因数时无解
随后考虑构造，显然要字典序最小，那么我们就可以每个 p[i] = i，而 p[x] = n 即可
但是某些情况下是无法通过的，为什么呢？因为我们可以将 n 往后移动，这样显然更优，那么什么时候可以将 n 往后移动呢？
如果在 x 后头存在一个位置 p[i]，其数字满足 p[i] % x == 0，说明这个数是 x 的倍数，即 i 能放在 p[x] 位置，满足 i = k*x，同时不要忘了，如果 n % i 不等于 0 的话，那么也是不行的，因为我们其实是在将 n 往后移动，如果这个 i 都不是 n 的因子，那么 n 放到 p[i] 上显然是不满足 n = k*i 的
代码：
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
#define yes cout << "YES\n"
#define no cout << "NO\n"
mt19937 rnd(chrono::steady_clock::now().time_since_epoch().count());void solve()
{int n, x;cin >> n >> x;// 如果 x 不是是 n 的因数，那么无解if (n % x != 0){cout << "-1\n";return;}vector<int> p(n + 1);p[1] = x, p[x] = n, p[n] = 1;for (int i = 2; i < n; i++){if (i != x)p[i] = i;}for (int i = x + 1; i < n; i++){if (!(p[i] % x) && !(n % i)){swap(p[i], p[x]);x = i;}}for (int i = 1; i <= n; i++){cout << p[i] << " ";}cout << endl;
}signed main()
{ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(nullptr);int t = 1;cin >> t;while (t--){solve();}return 0;
}A2. Make Nonzero Sum (hard version)
题目：
思路：
没想到直接贪，不过感觉好像做过这种直接贪的题目
我们不难发现一个性质，就是我们每次改变显然都是缩减 2，如 -1 如果变成了 1，那么 -1 的数量减一，而 1 的数量加一，此时二者数量差距显然就增加了 2
所以我们其实可以根据二者初始差距来判断是否有解，但是可以不判断
我们直接模拟过程，我们可以发现其实这个过程相当于在 i 处插上标记，同时不能连续插标记，插上标记的数就相当于添加了负号
所以我们直接贪心，如果当前数插上标记后会缩小二者差距，那么就插，否则不插
贪心也很好证明：如果当前不插，那么就算到后面再插也是改变 2，所以不如提前插
代码：
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
#define yes cout << "YES\n"
#define no cout << "NO\n"
mt19937 rnd(chrono::steady_clock::now().time_since_epoch().count());void solve()
{int n;cin >> n;vector<int> a(n);int sum = 0;int cnt = n;for (int i = 0; i < n; i++){cin >> a[i];sum += a[i];}vector<int> pass(n+1, 0);for (int i = 1; i < n; i++){if (abs(sum - 2 * a[i]) < abs(sum) && !pass[i - 1]){pass[i] = 1;cnt--;sum -= 2 * a[i];}}if (sum){cout << "-1\n";}else{cout << cnt << endl;for (int i = 0; i < n; i++){if (pass[i])continue;if (pass[i + 1]){cout << i+1 << " " << i + 2 << endl;}else{cout << i + 1 << " " << i + 1 << endl;}}}
}signed main()
{ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(nullptr);int t = 1;cin >> t;while (t--){solve();}return 0;
}C. Complementary XOR
题目：
思路：
题目标题其实给出来了提示
本题关键是找出无解条件，剩下手完一下即可
我们发现题目的条件相当于将 a 的 [l,r] 异或上 1，而 b 的其余地方异或上 1，那么我们结合一下，对于 c = a ^ b，其实就相当于将 c 的所有位异或上了 1，而如果 a b 都为 0，那么就是 c = 0
所以有解的条件就是 a ^ b = 00000.... 或者 a ^ b = 11111...
即所有的 a[i] = b[i] 或所有的 a[i] != b[i]
然后模拟即可，手玩一下可以发现我们只需要将 a[i] = 1 的操作一下即可，最后的局面一定是
00000 111111 或 111111 111111
特判一下即可
代码：
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
#define yes cout << "YES\n"
#define no cout << "NO\n"
mt19937 rnd(chrono::steady_clock::now().time_since_epoch().count());void solve()
{int n;cin >> n;string a, b;cin >> a >> b;vector<int> cnta(2, 0), cntb(2, 0);int flag = 0, flag2 = 0;for (int i = 0; i < n; i++){cnta[a[i] - '0']++;cntb[b[i] - '0']++;if (a[i] == b[i]){flag = 1;}else{flag2 = 1;}}if (flag && flag2){no;return;}if (cnta[0] == n && cntb[0] == n){yes;cout << "0\n";return;}yes;vector<pair<int, int>> ans;for (int i = 0; i < n; i++){if (a[i] == '1'){ans.push_back({i + 1, i + 1});}}if ((flag && (ans.size() % 2)) || (flag2 && !(ans.size() % 2))){ans.push_back({1, n});ans.push_back({1, 1});ans.push_back({2, n});}cout << ans.size() << endl;for (auto &[l, r] : ans){cout << l << " " << r << endl;}
}signed main()
{ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(nullptr);int t = 1;cin >> t;while (t--){solve();}return 0;
}