Pell数列

1.题目描述

描述
Pell数列a1, a2, a3, …的定义是这样的，a1 = 1, a2 = 2, … , an = 2 * an − 1 + an - 2 (n > 2)。
给出一个正整数k，要求Pell数列的第k项模上32767是多少。
输入
第1行是测试数据的组数n，后面跟着n行输入。每组测试数据占1行，包括一个正整数k (1 ≤ k < 1000000)。
输出
n行，每行输出对应一个输入。输出应是一个非负整数。
样例输入
2
1
8
样例输出
1
408

2.思路

根据模运算性质：(x + y) mod m ≡ [(x mod m) + (y mod m)] mod m
将2a视为一个整体：(2a + b) mod m ≡ [(2a mod m) + (b mod m)] mod m
根据乘法模运算性质：(kx) mod m ≡ [k(x mod m)] mod m
所以 (2a mod m) ≡ [2*(a mod m)] mod m
代入得：[(2*(a mod m)) mod m + (b mod m)] mod m
因为 (a mod m) 本身已经小于m，所以可以简化为：
[2*(a mod m) + (b mod m)] mod m
因此：(2a + b) mod m ≡ [2(a mod m) + (b mod m)] mod m
因为最终的结果是求余数，所以防止*2运算导致数字溢出，可以一边计算一边取余数。

3.代码

#include <iostream>
using namespace std;int calPell(int k)
{if (k <= 2) return k;int a1 = 1, a2 = 2;int a3 = 0;for (int i = 0; i < k - 2; ++i) {a3 = (2*a2 + a1) % 32767;a1 = a2;a2 = a3;}return a3;
}
int main()
{int num = 0;scanf("%d", &num);for (int i = 0; i < num; ++i) {int n = 0;scanf("%d", &n);printf("%d\n", calPell(n) % 32767);}
}

4.总结

取模运算性质