地理信息系统教程（汤国安老师书）—— 第二章课后习题

Q:

思考题（基础部分）

1. 地球表面、大地水准面及地球椭球体面之间的关系是什么？
2. 地理空间数据的描述有哪些坐标系？相互的关系是什么？
3. 采用大地坐标与地心坐标表述地面上一点的位置各有什么优缺点？
4. 高斯投影的变形特征是什么？为什么常常被用作大比例尺普通地图的地图投影？
5. UTM 与兰勃特等角投影的主要特点与适用性是什么？
6. 在数字地图中，地图比例尺在含义与表现形式上有哪些变化？
7. 如何进行不同基准下的高程的转换？
8. 除地形图分幅外，谈谈还有何种地理空间框架？他们如何进行编码？
9. GPS 数据如何与地图数字化数据进行集成？
10. 选择投影需要考虑哪些因素？如果要制作 1:10 万的土地利用图，该选何种类型的地图投影？

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思考题（拓展部分）

1. 试说明地球表面的磁偏角什么地方等于 0°、90°、180°、大于 90°、小于 90°。
2. 试分析经纬度为什么采用 60 进制而不是 10 进制？
3. 数字地图的出现对传统地图的概念与应用方式产生哪些影响？
4. 地图比例尺与空间分辨率之间的关系是什么？
5. 编程实现我国 1980 西安坐标系和 1954 北京坐标系的坐标转换。

A:

第一部分：大地测量与地图学基础

1. 地球表面、大地水准面及地球椭球体面之间的关系是什么？

• 地球表面：就是自然的地表，即自然界真实的地貌起伏表面，不规则。
• 大地水准面（Geoid）：假设海洋表面在无潮、无风、静止时延伸到陆地下面的等位面，是 重力场的等位面，不规则，但连续光滑。
• 地球椭球体面（Ellipsoid）：人为选定的数学椭球面，用来近似代替大地水准面，便于计算。

总之，地球表面是不规则的自然地表，大地水准面是物理近似，椭球面是数学近似。

关系：

$$\text{地球表面}\approx \text{大地水准面}+\Delta h$$

$$\text{大地水准面}\approx \text{椭球面}+N$$

其中：

• $\Delta h$：地形起伏高度
• $N$：大地水准面与椭球面的高程差（大地水准面起伏）

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2. 地理空间数据的描述有哪些坐标系？相互的关系是什么？

主要有：

1. 地心直角坐标系（ECEF，X-Y-Z）

   • 原点在地心，Z 轴指北极，X 轴指本初子午线与赤道交点，Y 轴与其成右手系。

2. 大地坐标系（φ, λ, h）

   • φ：大地纬度，λ：大地经度，h：大地高。
   • 与椭球体面有关。

3. 投影坐标系（x, y）

   • 大地坐标投影到平面得到的坐标（如高斯投影、UTM 投影）。

4. 像片坐标系、图像坐标系（遥感/摄影测量中使用）。

关系：

$$(X,Y,Z)⟷(\phi ,\lambda ,h)⟷(x,y)$$

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3. 采用大地坐标与地心坐标表述地面上一点的位置各有什么优缺点？

• 大地坐标 (φ, λ, h)

  • 优点：直观、贴近地理概念（纬度、经度）。
  • 缺点：计算复杂，涉及非线性函数。

• 地心坐标 (X, Y, Z)

  • 优点：便于空间计算、卫星轨道、几何运算。
  • 缺点：缺乏直观地理意义。

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4. 高斯投影的变形特征是什么？为什么常常被用作大比例尺普通地图的地图投影？

• 特征：高斯投影（横轴墨卡托投影的一种）是等角投影，保角但不保面积。中央经线方向无长度变形，远离中央经线变形逐渐增大。
• 原因：在较小范围内（如省、市、县的大比例尺地图），变形可忽略，且形状保持性好，适合工程、地籍测量等。
• （更适合南北方向延伸的区域，变形小）

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5. UTM 与兰勃特等角投影的主要特点与适用性是什么？

• UTM（Universal Transverse Mercator）

  • 横轴墨卡托投影，每 6° 划分一个带。
  • 特点：等角，局部精度高，分带使用。

• 兰勃特正形圆锥投影

  • 锥形投影，适合中纬度地区的东西向延伸区域。
  • 特点：等角，两条标准纬线无变形。
  • 适用于国家级、区域性地图制图。

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6. 在数字地图中，地图比例尺在含义与表现形式上有哪些变化？

• 传统地图：比例尺固定，地图内容与比例尺一一对应。
• 数字地图：比例尺变为可变概念，表现为显示分辨率（屏幕像素大小、缩放级别），本质上由空间分辨率和数据精度决定。

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7. 如何进行不同基准下的高程的转换？

• 高程类型：

  • 大地高 h（椭球面起算）
  • 正常高 H（大地水准面起算）

• 转换公式：

$$h=H+N$$

其中 $N$ 为大地水准面起伏。

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8. 除地形图分幅外，还有何种地理空间框架？他们如何进行编码？

除分幅编号外，还有：

• 行政区划框架：按省、市、县划分，编码为行政区划代码。
• 格网框架：将地球表面划分为规则网格，编码如经纬度格网编码、GeoHash。
• 地籍框架：以宗地为单位，编码为地籍号。
  用来空间索引的：
  • 地理格网编码（经纬网格）
  • 四叉树编码
  • GeoHash、Quadkey（网络地图常用编码）。
• 统一规则：由经纬度区间分级递归划分，形成编码。
  详细介绍可见这篇博客：地理框架及其编码

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9. GPS 数据如何与地图数字化数据进行集成？

• GPS 提供地心坐标 (X, Y, Z) 或大地坐标 (经纬度 + 高程)。
• 地图数据多为投影坐标。
• 集成方法：坐标转换 + 投影变换（如 WGS84 → 国家大地坐标系 → 高斯投影），从而实现 GPS 定位点在数字地图中的显示。

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10. 选择投影需要考虑哪些因素？如果要制作 1:10 万的土地利用图，该选何种类型的地图投影？

• 考虑因素：地图用途、比例尺、地区范围、形变控制目标。
• 1:10 万土地利用图 → 范围较小（市、县级），可以选择 高斯-克吕格投影（保证形状正确、精度高）。

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第二部分：磁学与地图表示

1. 磁偏角的分布

• 磁偏角：磁北与真北的夹角。
• = 0°：磁子午线与地理子午线重合（磁经线与经线重合）。
• = 90°：磁北方向指向正东或正西。
• = 180°：磁北方向与真北方向相反（指南）。
• >90°：磁北在西侧大角度偏离真北。
• <90°：磁北在东侧小角度偏离真北。

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2. 经纬度为什么采用 60 进制而不是 10 进制？

• 来源：古巴比伦天文学的 60 进制传统。
• 原因：60 是**高度合成数*，*可被 2,3,4,5,6 整除，便于角度细分，提高计算和测量便利性。

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3. 数字地图的出现对传统地图的影响

更便携，灵活，可以做各种分析啦

• 概念变化：比例尺不固定、动态显示、多尺度表达。
• 应用方式：支持空间分析、叠加、三维可视化。
• 共享性：网络化、数据库化，突破纸质地图的静态限制。

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4. 地图比例尺与空间分辨率之间的关系

• 比例尺：地图上距离与地面实际距离的比值。比例尺越大 → 表示地面细节越精细。
• 空间分辨率：能辨认的最小地面单位。
• 关系：比例尺越大 → 分辨率越高；比例尺越小 → 分辨率越低。例如：1:1 万地图需要米级分辨率，而 1:100 万地图只需百米级分辨率。

$$\text{分辨率}\approx \frac{1}{\text{比例尺}}$$

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5. 坐标转换（西安 1980 与北京 1954）

两个坐标系都是高斯投影坐标，为 不同大地基准(基于不同椭球参数)：

• 北京 54：克拉索夫斯基椭球 (a=6378245, f=1/298.3)
• 西安 80：IAG75 椭球 (a=6378140, f=1/298.257)

需进行 七参数 Bursa-Wolf 转换：

其中 $t_x,t_y,t_z$ 平移，$m$ 为尺度因子，$R$ 为旋转矩阵。

Python 可用 pyproj 库：

from pyproj import Transformer# 定义坐标系
bj54 = 'EPSG:21413'   # 假设使用北京54某投影
xa80 = 'EPSG:2340'    # 假设使用西安80某投影# 转换
transformer = Transformer.from_crs(bj54, xa80, always_xy=True)
x2, y2 = transformer.transform(x1, y1)