原码表示法、反码表示法、移码表示法、补码表示法

数学中使用 10 进制数，并在数字前面加一个负号表示负数。计算机中采用二进制，需要找到一种表示负数的方法。

原码表示法

最朴素的方法就是原码表示法，类似于数学中数字前面是正号表示正数，是负号则表示负数。原码表示法用最高位作为符号位，符号位是 0 则表示正数，符号位是 1 则表示负数。

例如对于 8 位的原码表示法的数

0000,0101

转换为 10 进制是 +5, 正号省略不写，则表示的是 5.

要表示负数 -5，则类似于把正号改成负号那样，把

0000,0101

的最高位（最左边是最高位）改成 1，变成

1000,0101

这就是原码表示法下的 -5.

这种表示法，对于 8 位二进制位来说，实际上只有 7 位是用来表示数值大小的，因此值域是 [-127, 127] ，其中低 7 位全为 0 时表示 0, 但是此时符号位可以为 0 也可以为 1，也就是用了 2 种 2 进制组合去表示 0 这个数，有点浪费了。

原码表示法的纯小数

对于 8 位的原码表示法的数，把它看成隐含着一个分母，这个分母的值是
$$2^{8-1}=2^7=128$$
于是值域从原本的 [-127, 127] 变成了
$$[-\frac{127}{128},\frac{127}{128}]$$
即相当于每一位的权重发生改变了

• 想要表示 +0.5，即 $+\frac{1}{2}$ ，就让权重是 $2^{-1}$ 的位为 1，其他位为 0，并且符号位为 0. 即 0100,0000 .

• 想要表示 -0.5，即 $-\frac{1}{2}$，就让权重是 $2^{-1}$ 的位为 1，其他位为 0，并且符号位为 1. 即 1100,0000

或者这样思考：

• 想要表示 -0.5，符号位是 1，然后因为值实际上是隐含着分母 128 的，所以要写出一个二进制原码，它的值除以 128 后等于 $\frac{1}{2}$

反码表示法

前面的原码表示法是把最高位当成正负号来用，现在的反码表示法是：

• 正数就正常写出二进制
• 如果是负数，先写出它的相反数的二进制，再进行位取反操作。

这种表示法最终的现象也是：

• 最高位为 0 时表示的是正数。
• 最高位为 1 时表示的是负数。

但是现在最高位并不再像原码表示法那样具有正负号的含义了，他只是表现出来的现象让它看起来好像是具有像正负号那样的含义。

例如表示 +5 ，把 5 转为二进制：

0000,0101

表示 -5 :
先写出它的相反数，即 5 的二进制

0000,0101

然后把每一位取反，得到

1111,1010

这就是反码表示法下的 -5

全 1 数减去 x, 相当于把 x 按位取反

以 8 位二进制数为例，列一个减法竖式

移码表示法

移码的思想也很朴素。本来二进制数只能表示正数，因为没地方给你添加一个负号来告诉计算机这是负数。除非像原码那样用最高位来模拟正负号。于是有人想出了把值域向下移动一段距离，就得到了表示负数的能力。

例如对于 8 位二进制数，本来值域是 [0, 255] ，如果向下移动 $2^{8-1}=2^7=128$，则值域变成了 [-128, 127]

那怎么用移码表示 -5 呢？

移码表示法最大的问题是 0 点与无符号整型不重合，计算不方便，无法自然地进行无符号整型和有符号整型之间的转换。

下面的补码表示法就可以解决这个问题

补码表示法

补码比较复杂，见
无符号整型通过调整数轴的解释方式得到补码形式的有符号整型