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第五章大数定律与极限定理

news 2025/8/17 7:52:48

专题一切比雪夫不等式

切比雪夫不等式

设随机变量 $X$ 的期望与方差均存在，则对任意 $\varepsilon>0$ ，有

$P\{|X - EX|\geq\varepsilon\}\leq\frac{DX}{\varepsilon^{2}}$

或

$P\{|X - EX|<\varepsilon\}>1 - \frac{DX}{\varepsilon^{2}}$

数轴上以 $EX$ 为中心，以 $\varepsilon$ 为半径， $x$ 落在外面的概率

随机变量偏离其均值的上界

依概率收敛的定义

设 $\{X_{n}\}$ 为一随机变量序列， $a$ 为常数。

若对任意 $\varepsilon>0$ ，有

$\lim_{n\rightarrow\infty}P\{|X_{n} - a|<\varepsilon\}=1$ ，

则称 $\{X_{n}\}$ 依概率收敛于 $a$ ，记作 $X_{n}\stackrel{P}{\longrightarrow}a$ 。

数轴上以a为中心，以 $\varepsilon$ 为半径， $X_n$ 落在其内的概率为1

专题二大数定律

切比雪夫大数定律（大量数据）

设随机变量 $X_{1},X_{2},\cdots,X_{n},\cdots$ 相互独立，方差有界，则

$\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}X_{i}\stackrel{P}{\longrightarrow}\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}EX_{i}$

辛钦（Khinchine）大数定律

设随机变量 $X_{1},X_{2},\cdots,X_{n},\cdots$ 相互独立同分布，且 $EX_{i}=\mu,i = 1,2,\cdots$ ，则 $\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}X_{i}\stackrel{P}{\longrightarrow}\mu$

伯努利（Bernoulli）大数定律

设随机变量 $X_{1},X_{2},\cdots,X_{n},\cdots$ 相互独立，均服从 $B(1,p)$ ，则

$\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}X_{i}\stackrel{P}{\longrightarrow}p$

专题三中心极限定理

列维 - 林德伯格（Levy—Lindeberg）中心极限定理

设随机变量 $X_{1},X_{2},\cdots,X_{n},\cdots$ 相互独立同分布，且 $EX_{i}=\mu$ ， $DX_{i}=\sigma^{2},i = 1,2,\cdots$ ，则对任意实数 $x$ ，有

$\lim_{n\rightarrow\infty}P\left\{\frac{\sum_{i = 1}^{n}X_{i}-n\mu}{\sqrt{n}\sigma}\leq x\right\}=\int_{-\infty}^{x}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{t^{2}}{2}}dt=\Phi(x)$

即 $\sum_{i = 1}^{n}X_{i}$ 近似服从正态分布 $N(n\mu,n\sigma^{2})$ 。

狄莫弗 - 拉普拉斯（Demoivre—Laplace）中心极限定理

设随机变量 $X_{1},X_{2},\cdots,X_{n},\cdots$ 相互独立，均服从 $B(1,p)$ ，则对任意实数 $x$ ，有 $\lim_{n\rightarrow\infty}P\left\{\frac{\sum_{i = 1}^{n}X_{i}-np}{\sqrt{np(1 - p)}}\leq x\right\}=\int_{-\infty}^{x}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{t^{2}}{2}}dt=\Phi(x)$