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数据结构：构建 (create) 一个二叉树

news 2025/8/17 6:52:24

问题的本质——什么信息才能唯一确定一棵树？

推导“最佳拍档”——哪两种遍历序列能行？

递归思想——如何构建一棵树？

第1步：确定整棵树的根节点

第2步：划分左右子树的成员

第3步：递归构建左右子树

将逻辑翻译为代码

第1步：搭建函数框架和递归出口

第2步：实现核心逻辑 - 创建根节点

第3步：划分中序序列并进行递归

第4步：创建主函数（包装函数）

完整代码和验证

问题的本质——什么信息才能唯一确定一棵树？

我们先思考一下，要构建一棵树，我们需要什么“原材料”？

假设我给你一些节点，比如 A, B, C。我告诉你 A 是根节点。那么 B 和 C 在哪里呢？

可能是 B 是左孩子，C 是右孩子。
也可能是 B 是左孩子，C 是 B 的左孩子。
还可能是 B 和 C 都是 A 的右孩子（形成一个链表）。

显然，只告诉我节点数据是不够的，因为它缺乏结构信息。

那么，我们上一节学到的“遍历序列”是不是一种结构信息呢？我们来试试。

数据结构：二叉树的遍历 (Binary Tree Traversals)-CSDN博客

假设我告诉你，一棵树的前序遍历序列是 A B C。这棵树长什么样？

A 肯定是根节点，因为前序遍历第一个就是根。
B 是 A 的左孩子吗？如果是，那么 C 可能是 A 的右孩子，也可能是 B 的左/右孩子。
B 是 A 的右孩子吗？...

    A/ \B   C

    A/B/
C

    A/B\C

你会发现，只靠一种遍历序列，我们无法唯一地确定一棵树的结构。 信息还是不够！

核心矛盾： 遍历序列是一个一维的、线性的数据。而树是一个二维的、非线性的结构。

从一维信息恢复二维结构，必然会丢失信息，导致不确定性。

解决方案： 那么，我们需要补充什么样的信息才能消除这种不确定性呢？

我们需要两种不同规则的遍历序列，用它们互相配合，锁定每一个节点的位置。

推导“最佳拍档”——哪两种遍历序列能行？

我们来分析一下上一节学到的三种遍历序列的“特长”：

前序遍历 (DLR: 根-左-右)：序列的第一个元素永远是当前这棵（子）树的根节点。
后序遍历 (LRD: 左-右-根)：序列的最后一个元素永远是当前这棵（子）树的根节点。
中序遍历 (LDR: 左-根-右)：根节点在序列的中间，它像一根“柱子”，把序列划分成了两部分：左边的所有元素都属于左子树，右边的所有元素都属于右子树。

看到关键点了吗？

前序和后序遍历能帮我们轻松地找到根。
中序遍历能帮我们以根为界，划分出左右子树的范围。

这就是“最佳拍档”！我们可以用一个（前序或后序）来确定根，再用中序来确定左右子树的成员。

我们来推导 前序遍历 + 中序遍历 这个组合。

原材料：

前序序列 (Pre-order): A B D E C F
中序序列 (In-order): D B E A C F

        A/ \B   C/ \    \D   E    F

递归思想——如何构建一棵树？

第1步：确定整棵树的根节点

看前序序列 A B D E C F，第一个元素是 A。
结论：A 就是整棵树的根节点。

第2步：划分左右子树的成员

我们已经知道根是 A 了。现在看中序序列 D B E A C F。
找到 A 在中序序列中的位置。
A 左边的 D B E 就是 A 的左子树的所有成员。
A 右边的 C F 就是 A 的右子树的所有成员。

第3步：递归构建左右子树

现在问题被分解成了两个一模一样的子问题：

子问题1 (构建A的左子树):

我们知道它的成员是 {D, B, E}。那么它的前序和中序序列是什么？
很简单，回到原始序列中，只看这三个字母，保持它们原来的相对顺序。
原始前序: A [B D E] C F -> 左子树的前序: B D E
原始中序: [D B E] A C F -> 左子树的中序: D B E
现在，我们对这两个新的、更短的序列，重复第1步。

    B/ \D   E

子问题2 (构建A的右子树):

成员是 {C, F}。
原始前序: A B D E [C F] -> 右子树的前序: C F
原始中序: D B E A [C F] -> 右子树的中序: C F
同样，对这两个新序列，重复第1步。

C\F

我们来深入子问题1 (左子树 B D E):

第1步 (子问题): 看它的前序 B D E，第一个是 B。所以 B 是这个子树的根。
第2步 (子问题): 看它的中序 D B E，找到 B。B 左边是 D，右边是 E。
结论：D 是 B 的左孩子，E 是 B 的右孩子。
到这里，D 和 E 都已经是单个节点（叶子节点），它们的左右子树都是 NULL，递归的“出口”到了。

这个过程会一直持续下去，直到处理的序列为空。这就是从第一性原理推导出的，利用两种遍历序列构建树的完整逻辑。

将逻辑翻译为代码

现在我们把这个递归逻辑变成代码。我们需要一个函数，它能根据给定的前序和中序序列，返回构建好的树的根节点指针。

我们先定义函数原型。这个函数需要什么参数？

char* preorder: 前序序列数组。
char* inorder: 中序序列数组。
为了处理子问题，我们还需要告诉函数当前要处理的序列是哪一段。所以我们需要数组的边界。
int in_start, int in_end: 表示当前处理的中序序列在原数组中的起始和结束索引。

为什么只需要中序的边界，而不需要前序的边界？

因为前序序列的根总是在第一个位置，我们处理一个就用掉一个。我们可以用一个全局的或者传入指针的索引来依次访问前序序列，这样更简单。

第1步：搭建函数框架和递归出口

// 节点定义和创建函数（和上一节一样）
typedef struct Node {char data;struct Node* left;struct Node* right;
} Node;Node* createNode(char data) {Node* newNode = (Node*)malloc(sizeof(Node));newNode->data = data;newNode->left = NULL;newNode->right = NULL;return newNode;
}// 这是一个递归的辅助函数
// pre_idx_ptr 是一个指向前序序列当前索引的指针，这样在递归中修改才能生效
Node* buildTreeRecursive(char* preorder, int* pre_idx_ptr, char* inorder, int in_start, int in_end) {// 递归的出口 (Base Case)// 如果中序序列的起始点大于结束点，说明这是一个空子树，没有节点需要创建if (in_start > in_end) {return NULL;}// 后续的递归步骤将在这里填充// ...
}

第2步：实现核心逻辑 - 创建根节点

根据我们的推导，函数要做的第一件事就是从前序序列中取出当前的根。

Node* buildTreeRecursive(char* preorder, int* pre_idx_ptr, char* inorder, int in_start, int in_end) {if (in_start > in_end) {return NULL;}// 1. 从前序序列中获取根节点的值// 当前要处理的根，就是前序序列中 pre_idx_ptr 指向的那个元素char root_val = preorder[*pre_idx_ptr];// 2. 创建根节点Node* root = createNode(root_val);// 3. 用掉了一个前序元素，将索引向后移动一位，为下一个递归调用做准备(*pre_idx_ptr)++;// ... 接下来是划分和递归return root; // 暂时先返回根节点
}

第3步：划分中序序列并进行递归

创建了根节点后，我们需要在中序序列里找到它，然后划分出左右子树的范围，再进行递归调用。

Node* buildTreeRecursive(char* preorder, int* pre_idx_ptr, char* inorder, int in_start, int in_end) {if (in_start > in_end) {return NULL;}char root_val = preorder[*pre_idx_ptr];Node* root = createNode(root_val);(*pre_idx_ptr)++;// 4. 在中序序列中找到根节点的位置，以划分左右子树int in_root_idx = -1; // 初始化一个找不到的索引for (int i = in_start; i <= in_end; i++) {if (inorder[i] == root_val) {in_root_idx = i;break; // 找到了就退出循环}}// 如果在中序序列中找不到根（输入有误），可以加个错误处理// if (in_root_idx == -1) { /* error handling */ }// 5. 递归构建左右子树// 注意递归的顺序！因为我们是按前序(根->左->右)的顺序消耗元素的，// 所以必须先递归构建左子树，再递归构建右子树。// 构建左子树// 左子树的范围是中序序列的 in_start 到 根的前一个位置(in_root_idx - 1)root->left = buildTreeRecursive(preorder, pre_idx_ptr, inorder, in_start, in_root_idx - 1);// 构建右子树// 右子树的范围是中序序列的 根的后一个位置(in_root_idx + 1) 到 in_endroot->right = buildTreeRecursive(preorder, pre_idx_ptr, inorder, in_root_idx + 1, in_end);return root;
}

第4步：创建主函数（包装函数）

为了让用户调用起来更方便，我们创建一个主函数，它负责初始化前序索引并调用递归函数。

// 主函数，用户调用这个
Node* buildTree(char* preorder, char* inorder, int size) {int pre_idx = 0; // 初始化前序序列的起始索引// 调用递归辅助函数，初始范围是整个中序数组return buildTreeRecursive(preorder, &pre_idx, inorder, 0, size - 1);
}

至此，整个从逻辑推导到代码实现的过程就完成了。

完整代码和验证

让我们把所有部分组合起来，并写一个 main 函数来验证我们的成果。

验证方法很简单：用我们创建树的函数 buildTree 来构建一棵树，然后用上一节学过的任意一种遍历（比如后序遍历）来打印这棵树，看看结果是否符合预期。

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h> // For strlen// --- 节点定义和创建函数 ---
typedef struct Node {char data;struct Node* left;struct Node* right;
} Node;Node* createNode(char data) {Node* newNode = (Node*)malloc(sizeof(Node));newNode->data = data;newNode->left = NULL;newNode->right = NULL;return newNode;
}// --- 从前序和中序序列构建树的实现 ---// 递归辅助函数
Node* buildTreeRecursive(char* preorder, int* pre_idx_ptr, char* inorder, int in_start, int in_end) {// 递归出口if (in_start > in_end) {return NULL;}// 1. 创建根节点char root_val = preorder[*pre_idx_ptr];Node* root = createNode(root_val);(*pre_idx_ptr)++;// 2. 在中序序列中找到根，以划分左右子树int in_root_idx = -1;for (int i = in_start; i <= in_end; i++) {if (inorder[i] == root_val) {in_root_idx = i;break;}}// 3. 递归构建左子树和右子树root->left = buildTreeRecursive(preorder, pre_idx_ptr, inorder, in_start, in_root_idx - 1);root->right = buildTreeRecursive(preorder, pre_idx_ptr, inorder, in_root_idx + 1, in_end);return root;
}// 主构建函数
Node* buildTree(char* preorder, char* inorder, int size) {int pre_idx = 0;return buildTreeRecursive(preorder, &pre_idx, inorder, 0, size - 1);
}// --- 验证用的遍历函数 (从上一节课拿来) ---
void postOrder(Node* root) {if (root == NULL) return;postOrder(root->left);postOrder(root->right);printf("%c ", root->data);
}// --- Main 函数 ---
int main() {char preorder[] = "ABDECF";char inorder[] = "DBEACF";int size = strlen(preorder);printf("Input Pre-order: %s\n", preorder);printf("Input In-order:  %s\n", inorder);// 使用我们推导出的函数来构建树Node* root = buildTree(preorder, inorder, size);printf("\nVerification with Post-order traversal:\n");printf("Expected: D E B F C A\n");printf("Actual:   ");postOrder(root);printf("\n");// 如果 Actual 和 Expected 一致，说明我们的树构建完全正确！// 在此添加释放树内存的代码...return 0;
}

关于后序+中序的思考：

这个逻辑是完全一样的。区别在于：