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2^{-53} 单位舍入误差、机器精度、舍入的最大相对误差界限

news 2025/8/17 6:42:11

在双精度浮点数（double floating-point）算术中， $2^{-53}$ 被称为机器精度（machine epsilon）或单位舍入误差（unit roundoff），而不是相对舍入误差单位。它的定义和命名原因如下：

1. 定义

单位舍入误差（unit roundoff, u）：
在 IEEE 754 双精度浮点数（binary64）中，有效位数（尾数）为 52 位（隐含最高位 1，共 53 位精度）。
单位舍入误差定义为：

$u = \frac{1}{2} \cdot \beta^{1-p}$

其中： $\beta = 2$ （二进制基数）, $p = 53$ （有效位数）.

因此：

$u = \frac{1}{2} \cdot 2^{-52} = 2^{-53} \approx 1.11 \times 10^{-16}$

它表示浮点数舍入时的最大相对误差界限。

2. 为什么叫“单位舍入误差”？

“单位” 这里的“单位”指“1个单位”的舍入误差，即相对于浮点数本身的相对误差。
例如，若真实值 $x$ 的浮点表示为 $\text{fl}(x)$ fl(x)，则满足：

$\left| \frac{\text{fl}(x)-x}{x} \right| \le \mathbf{u}$

即舍入误差相对于 $x$ 的量级不超过 $\mathbf{u}$ 。

“舍入误差” 浮点运算（加、减、乘、除等）的每一步都可能因精度限制引入舍入误差，而 $\mathbf{u}$ 是该误差的理论上界。

3. 与“机器精度”的关系

机器精度（machine epsilon）
有时也被定义为可表示的大于 1 的最小浮点数与 1 的差（即 $2^{-52}$ ），但更常见的定义与单位舍入误差 $u = 2^{-53}$ 一致（取决于具体文献）。

关键区别

单位舍入误差强调相对误差界限，而机器精度更侧重浮点系统的分辨率。

4. 为什么是 $2^{-53}$ 而非其他值？

IEEE 754 规定双精度浮点数的尾数有效位为 53 位（包括隐含的 1），因此：

舍入时最多影响最低有效位（LSB），其权重为 $2^{-52}$ 。

但相对误差需考虑归一化，故取一半（ $\frac{1}{2} \cdot 2^{-52}$ ）作为上界，即 $2^{-53}$ 。

5. 实际意义

误差分析
在数值算法中（如矩阵乘法、求解线性方程组），误差累积常以 $\mathbf{u}$ 为单位进行分析。例如：

$\text{fl}(a \odot b) = (a \odot b)(1 + \delta), \quad |\delta| \leq u$

其中 $\odot$ 表示基本运算。

稳定性判据
若算法的误差增长与 $\mathbf{u}$ 多项式相关，则称其为“数值稳定”。

换句话说， $2^{-53}$ 是单位舍入误差（unit roundoff），而非“相对舍入误差单位”。命名源于它是浮点运算中相对误差的理论上界，且是误差分析的基本单位。在双精度浮点中， $\mathbf{u} = 2^{-53}$ 是 IEEE 754 标准下的严格定义，直接关联于 53 位有效精度。