数据结构：树（Tree）
目录
我们为什么需要“树”？
树的专业术语 (Terminology)
二叉树 (Binary Tree) 的一步步推导
二叉树的严格定义
如何用代码表示一个二叉树节点？
我们为什么需要“树”？
在学习“树”之前，你最熟悉的数据结构应该是数组 (Array) 和 链表 (Linked List)。我们先分析一下它们的优缺点，看看能不能找到一个“两全其美”的方案。
1. 数组 (Array)：
优点: 访问速度极快。
因为内存是连续的，我们可以通过索引（下标）直接计算出元素的地址，所以查询任何一个元素的时间复杂度是 O(1)。
缺点: 插入和删除操作非常慢。
假设你有一个很大的、排好序的数组，要在中间插入一个元素，你需要把这个元素之后的所有元素都向后移动一位。删除同理。
这个过程的时间复杂度是 O(n)，其中 n 是元素的数量。此外，数组的大小通常是固定的，扩容很麻烦。
2. 链表 (Linked List)
优点: 插入和删除操作非常快。
我们只需要改变目标位置前后节点的指针指向即可，时间复杂度是 O(1)（前提是已经找到了要操作的位置）。
缺点: 访问和搜索速度很慢。因为内存是分散的，你没办法直接跳到第 i 个元素，必须从头节点开始，一个一个地“遍历”过去，时间复杂度是 O(n)。
矛盾出现了：
我们想要一个数据结构，既能像数组一样快速搜索，又能像链表一样快速增删。
推导开始：
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链表的慢，根源在于它是一个线性结构，只有一个“下一个”(
next)的方向。要找一个元素，最坏情况要走遍整条链。 -
怎么加速呢？如果我们从一个节点出发，能有好几个“下一个”选项，是不是就能更快地“缩小范围”？
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比如说，我们站在一个节点，左边指过去，都是比它小的数；右边指过去，都是比它大的数。这样一来，每次比较，我们都能排除掉大约一半的元素，搜索速度会大大提升。
这个“一个节点指向多个节点”的想法，就打破了“线性”的束缚。
这种一个节点（父）连接到一个或多个节点（子）的结构，看起来就像现实世界里倒挂的树。
“树”结构，就是为了解决数组和链表在“查找效率”和“增删效率”上的根本矛盾而诞生的。它是一种非线性 (Non-linear) 的数据结构。
树的专业术语 (Terminology)
在深入学习之前，必须先掌握这些基本概念，这是我们交流的“语言”。
A(根节点 Root)/ \B(Parent) C(Parent)/ \ \D E F(Leaf) (Leaf) / \G H(Leaf) (Leaf)
对应解释（结合上图）
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节点（Node）
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树的基本组成单位，如 A、B、C、D、E、F、G、H 都是节点。
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根节点（Root）
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树最上层的节点，没有父节点。
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在上图中，A 是根节点。
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边（Edge）
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连接两个节点的线，例如
(A,B)、(B,E)、(F,H)等。
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父节点（Parent）
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一个节点的直接上层节点。
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B 的父节点是 A；E 的父节点是 B。
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子节点（Child）
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父节点直接连接的下层节点。
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B 的子节点是 D 和 E。
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兄弟节点（Siblings）
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拥有相同父节点的节点。
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D 和 E 是兄弟节点；G 和 H 也是兄弟节点。
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叶子节点 / 终端节点（Leaf Node / Terminal Node）
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没有子节点（度为 0）的节点。
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D、E、G、H 是叶子节点。
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内部节点（Internal Node）
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非叶子节点，即至少有一个子节点。
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A、B、C、F 是内部节点。
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子树（Subtree）
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由任意一个节点及其所有后代节点组成的树。
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以 C 为根节点的子树是
{C, F, G, H}。
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节点的度（Degree of a Node）
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一个节点拥有的子节点数量。
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B 的度是 2（D 和 E）；F 的度是 2（G 和 H）。
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树的度（Degree of a Tree）
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树中所有节点度的最大值。
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上图最大度是 2（B 和 F），所以树的度为 2。
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层（Level）
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从根开始，根为第 0 层，依次向下。
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A 在第 0 层，B 和 C 在第 1 层，D、E、F 在第 2 层，G、H 在第 3 层。
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深度（Depth）
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从根节点到某个节点经过的边数。
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E 的深度是 2（A→B→E）。
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高度（Height）
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从某个节点到最远叶子节点的边数。
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树的高度是根节点 A 的高度，这里是 3（A→C→F→G/H）。
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| 中文术语 | 英文术语 | 解释 |
| 节点 | Node | 树的基本组成部分。它包含数据和指向其他节点的指针。 |
| 根节点 | Root | 树顶端的节点，它没有父节点。一棵树只有一个根节点。 |
| 边 | Edge | 连接两个节点的线。 |
| 父节点 | Parent | 一个节点所连接的上层节点。 |
| 子节点 | Child | 一个节点所连接的下层节点。 |
| 兄弟节点 | Siblings | 拥有相同父节点的节点们。 |
| 叶子节点 / 终端节点 | Leaf Node / Terminal Node | 没有任何子节点的节点（度为0的节点）。 |
| 内部节点 | Internal Node | 非叶子节点，即至少有一个子节点的节点。 |
| 子树 | Subtree | 树中任意一个节点和它下面的所有后代节点组成的结构。 |
| 节点的度 | Degree of a Node | 一个节点拥有的子树数量（或子节点数量）。 |
| 树的度 | Degree of a Tree | 树中所有节点度的最大值。 |
| 层 | Level | 从根节点开始，根为第0层，根的子节点为第1层，以此类推。 |
| 深度 | Depth | 从根节点到某个节点所经过的边的数量。根节点的深度是0。 |
| 高度 | Height | 从某个节点到其最远叶子节点所经过的边的数量。树的高度是指根节点的高度。 |
二叉树 (Binary Tree) 的一步步推导
我们已经知道，树的一个节点可以有任意多个子节点。但在实际应用中，这“任意多”会带来不确定性，导致结构复杂，不方便实现。
第一性推导：如何简化“树”这个通用模型？
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最简单的“树”是什么？每个节点最多只有一个子节点。
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如果你画出来，会发现这其实就是一个链表。它又回到了线性的老路。
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那么，在“一个子节点”（链表）的基础上，稍微复杂化一点，但又保持结构足够简单，该怎么办？
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答案就是：让每个节点最多有两个子节点。
这个“最多有两个子节点”的树，就是二叉树 (Binary Tree)。
它是在通用树的复杂性和链表的简单性之间取得的完美平衡，也是实际应用中最常见、最重要的树形结构。
二叉树的严格定义
二叉树是一个有限的节点集合，这个集合：
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要么是空集（空树）。
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要么由一个根节点和两棵互不相交的、分别称为根节点的左子树 (Left Subtree) 和右子树 (Right Subtree) 的二叉树组成。
关键点：
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最多两个：节点可以有0个、1个或2个子节点。
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有序区分：左子树和右子树是严格区分的，不能颠倒。一个节点只有一个子节点时，也要明确它是左孩子还是右孩子。
如何用代码表示一个二叉树节点？
根据定义，一个节点需要：
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一块空间来存储数据本身 (Data)。
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一个指针指向它的左孩子。如果左孩子不存在，就指向
NULL。 -
一个指针指向它的右孩子。如果右孩子不存在，就指向
NULL。
所以，最自然的 C/C++ 结构就产生了：
C++ 版本:
struct TreeNode {int data; // 节点存储的数据，这里用 int 举例TreeNode* left; // 指向左子树的指针 (left child pointer)TreeNode* right; // 指向右子树的指针 (right child pointer)
};C 版本:
typedef struct TreeNode {int data;struct TreeNode* left;struct TreeNode* right;
} TreeNode;-
data用来存放节点的数值。 -
left指针指向左边的孩子节点，没有就是NULL。 -
right指针指向右边的孩子节点，没有就是NULL。
一棵完整的树，就是由很多这样的TreeNode通过left和right指针互相连接而成的。
我们通常会持有一个指向根节点的指针(TreeNode* root)来代表整棵树。