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【递归完全搜索】CCC 2008 - 24点游戏Twenty-four

news 2025/8/15 11:44:29

题目描述

“24点”是一种流行的纸牌游戏，适合四名玩家一起玩。

每位玩家有一叠面朝下的牌。每轮游戏中，四位玩家各自翻开自己牌堆的顶牌，让所有人可见。游戏目标是用这四张牌的数值（A=1，J=11，Q=12，K=13）构造一个算式，使其结果等于 $24$ 。

$((A * K) - J) * Q$
$((1 * 13) - 11) * 12$

例如，题目插图中的示例中，可以构造出一个算式使结果为 $24$ 。

第一个找到这种算式的玩家赢得本轮，并将这四张牌都放到自己牌堆的底部。

每个合法的算式必须：

恰好使用这四张牌的数值；
只能使用加法、减法、乘法或除法；
可以使用括号改变运算顺序；
不能将多张牌拼接成多位数（如 $2$ 和 $4$ 拼成 $24$ 是禁止的）；
除法的结果必须是整数（包括算式中任意子表达式的中间结果也必须为整数）。

在某些情况下，玩家可能很久也找不到等于 $24$ 的表达式，甚至可能根本不存在这样的表达式。

你的任务是：给定四张牌，找到一个算式，使结果是不超过 $24$ 的最大整数。

输入格式

第一行：一个整数 $n$ ，表示有多少组牌。

接下来每组牌包含 $4$ 行，每行一个整数，表示一张牌的值。

输出格式

对于每组牌，输出一行一个整数，表示用这 $4$ 张牌能组合出的、不超过 $24$ 的最大值。

样例输入

样例输出

24
4
21

提交链接

Twenty-four

思路分析

全排列枚举牌的顺序
- 因为牌的排列顺序会影响运算结果（例如 $3$ - $5$ 和 $5$ - $3$ 不同）。
- $4$ 张牌的所有排列数为 $4! = 24$ 种。
枚举运算符组合
- $4$ 张牌有 $3$ 个空隙，每个空隙可以放 + - * / 四种运算符。
- 一共有 $4^3 = 64$ 种运算符组合。
枚举括号（运算顺序）
- 四个数、三个运算符，合法的运算顺序（括号摆放方式）有 $5$ 种：
  1. ((a op1 b) op2 c) op3 d
  2. (a op1 (b op2 c)) op3 d
  3. a op1 ((b op2 c) op3 d)
  4. a op1 (b op2 (c op3 d))
  5. (a op1 b) op2 (c op3 d)
整数除法检查
- 除法必须整除且不能除以零，运算时要判断。
更新最大值
- 如果某个算式结果 $\leq 24$ 且合法，就用它来更新最大值。

全局变量与工具函数

vector<char> b{'+', '-', '*', '/'}
- 存四种运算符，方便用下标枚举。
int mx
- 记录当前测试用例中最大的不超过 $24$ 的结果。
int cal(int x, char op, int y, bool &ok)
- 执行一次二元运算 x op y。
  ok 用来标记运算是否合法：
  - 如果是 / 运算，检查除数 y 是否为 0；
  - 检查是否整除 x % y == 0；
- 如果不满足条件，ok = false，表示该运算链无效。

读取数据

int t;
cin >> t;
while (t--)
{vector<int> a(4);for (int &i : a) cin >> i;
}

读取 t 组测试数据。
每组数据读入 4 张牌的值。

枚举牌的顺序

sort(a.begin(), a.end());
mx = 0;
do
{// ...
} while (next_permutation(a.begin(), a.end()));

sort 保证 next_permutation 从最小字典序开始枚举，确保不会漏掉排列。
next_permutation 会枚举 $4$ 张牌的所有排列（ $24$ 种）。
每次排列会进入一次运算符与括号的枚举。

枚举运算符

for (int i = 0; i < 4; i++)
{for (int j = 0; j < 4; j++){for (int k = 0; k < 4; k++){char op1 = b[i], op2 = b[j], op3 = b[k];

i, j, k 分别表示三个位置的运算符，取值 0~3，对应 + - * /。
一共 $64$ 种运算符组合。

枚举括号方式并计算

每种括号方式都要单独用一个 ok = true，防止上一次计算失败状态影响下一种括号结构。

(1) ((a op1 b) op2 c) op3 d

ok = true;
r = cal(cal(cal(a[0], op1, a[1], ok), op2, a[2], ok), op3, a[3], ok);
if (ok && r <= 24) mx = max(mx, r);

按括号从内到外计算。
如果 ok 最终还是 true，表示整个计算合法。

(2) (a op1 (b op2 c)) op3 d

ok = true;
r = cal(cal(a[0], op1, cal(a[1], op2, a[2], ok), ok), op3, a[3], ok);
if (ok && r <= 24) mx = max(mx, r);

先算 (b op2 c)，再算 a op1 (...)。

(3) a op1 ((b op2 c) op3 d)

ok = true;
r = cal(a[0], op1, cal(cal(a[1], op2, a[2], ok), op3, a[3], ok), ok);
if (ok && r <= 24) mx = max(mx, r);

先算 (b op2 c)，再 (结果 op3 d)，最后 a op1 (...)。

(4) a op1 (b op2 (c op3 d))

ok = true;
r = cal(a[0], op1, cal(a[1], op2, cal(a[2], op3, a[3], ok), ok), ok);
if (ok && r <= 24) mx = max(mx, r);

先算 (c op3 d)，再 (b op2 结果)，最后 a op1 (...)。

(5) (a op1 b) op2 (c op3 d)

ok = true;
r = cal(cal(a[0], op1, a[1], ok), op2, cal(a[2], op3, a[3], ok), ok);
if (ok && r <= 24) mx = max(mx, r);

左右两边分别算，再用 op2 连接。

参考代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;vector<char> b{'+', '-', '*', '/'};int mx;int cal(int x, char op, int y, bool &ok)
{if (op == '+')return x + y;else if (op == '-')return x - y;else if (op == '*')return x * y;else{if (y != 0 && x % y == 0)return x / y;else{ok = false;return 0;}}
}
int main()
{int t;cin >> t; // t组样例while (t--){vector<int> a(4);for (int &i : a)cin >> i;sort(a.begin(), a.end());mx = 0;do{// 枚举运算符的使用for (int i = 0; i < 4; i++){for (int j = 0; j < 4; j++){for (int k = 0; k < 4; k++){char op1 = b[i], op2 = b[j], op3 = b[k]; // 三个运算符bool ok;int r;//((a op1 b) op2 c) op3 dok = true;r = cal(cal(cal(a[0], op1, a[1], ok), op2, a[2], ok), op3, a[3], ok);if (ok && r <= 24)mx = max(mx, r);//(a op1 (b op2 c)) op3 dok = true;r = cal(cal(a[0], op1, cal(a[1], op2, a[2], ok), ok), op3, a[3], ok);if (ok && r <= 24)mx = max(mx, r);// a op1 ((b op2 c) op3 d)ok = true;r = cal(a[0], op1, cal(cal(a[1], op2, a[2], ok), op3, a[3], ok), ok);if (ok && r <= 24)mx = max(mx, r);// a op1 (b op2 (c op3 d))ok = true;r = cal(a[0], op1, cal(a[1], op2, cal(a[2], op3, a[3], ok), ok), ok);if (ok && r <= 24)mx = max(mx, r);//(a op1 b) op2 (c op3 d)ok = true;r = cal(cal(a[0], op1, a[1], ok), op2, cal(a[2], op3, a[3], ok), ok);if (ok && r <= 24)mx = max(mx, r);}}}} while (next_permutation(a.begin(), a.end())); // 四个数字的排列cout << mx << endl;}return 0;
}