LeetCode 1780：判断一个数字是否可以表示成3的幂的和-进制转换解法
LeetCode 1780：判断一个数字是否可以表示成3的幂的和 - 算法详解与优化
题目描述
给定一个整数 n，判断该整数是否可以表示成若干个不同的3的幂次方的和。
示例：
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输入：n = 12
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输出：true
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解释：12 = 3¹ + 3²
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输入：n = 91
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输出：true
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解释：91 = 3⁰ + 3² + 3⁴
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输入：n = 21
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输出：false
问题分析
这个问题本质上是在问：给定一个数字n，是否存在一组不同的3的幂次方，使得它们的和等于n。
关键观察
- 3的幂次方的特点：3⁰=1, 3¹=3, 3²=9, 3³=27, 3⁴=81, …
- 不同幂次方的和：每个3的幂次方最多只能使用一次
- 进制转换思想：这个问题可以转化为三进制表示问题
算法思路
方法一：进制转换法（推荐）
将数字n转换为三进制，如果三进制表示中只包含0和1，则返回true；如果包含2，则返回false。
原理：
- 如果一个数字可以表示成3的幂的和，那么在三进制中，每一位只能是0或1
- 如果某一位是2，说明需要两个相同的3的幂次方，这与"不同的3的幂次方"矛盾
class Solution:def checkPowersOfThree(self, n: int) -> bool:while n > 0:if n % 3 == 2:return Falsen //= 3return True
方法二：迭代判断法
通过不断除以3，检查每一步的余数：
class Solution:def checkPowersOfThree(self, n: int) -> bool:for _ in range(20): # 设置合理的循环次数if n % 3 == 2:return Falsen //= 3if n == 0:breakreturn True
算法复杂度分析
- 时间复杂度：O(log₃ n)，因为每次除以3，数字会减少到原来的1/3
- 空间复杂度：O(1)，只使用了常数个变量
详细代码实现
class Solution:def checkPowersOfThree(self, n: int) -> bool:"""判断一个数字是否可以表示成3的幂的和思路：将数字转换为三进制，如果三进制表示中只包含0和1，则返回True如果包含2，则返回FalseArgs:n: 待判断的整数Returns:bool: 是否可以表示成3的幂的和"""while n > 0:# 检查当前位的余数if n % 3 == 2:return False# 继续处理下一位n //= 3return True# 测试代码
if __name__ == '__main__':solution = Solution()# 测试用例test_cases = [12, 91, 21, 1, 3, 9, 27, 81]for num in test_cases:result = solution.checkPowersOfThree(num)print(f"数字 {num} 是否可以表示成3的幂的和: {result}")
算法正确性证明
充分性证明
如果一个数字的三进制表示只包含0和1，那么它一定可以表示成3的幂的和。
证明：
- 三进制中的每一位对应一个3的幂次方
- 如果某一位是1，说明使用了对应的3的幂次方
- 如果某一位是0，说明没有使用对应的3的幂次方
- 因此，整个数字就是所有为1的位对应的3的幂次方的和
必要性证明
如果一个数字可以表示成3的幂的和，那么它的三进制表示一定只包含0和1。
证明：
- 假设存在一个数字，它的三进制表示包含2
- 这意味着需要两个相同的3的幂次方
- 但这与"不同的3的幂次方"矛盾
- 因此，三进制表示不能包含2
扩展思考
1. 其他进制的情况
这个问题可以推广到其他进制。例如：
- 判断一个数字是否可以表示成2的幂的和（二进制问题）
- 判断一个数字是否可以表示成4的幂的和（四进制问题）
2. 动态规划解法
虽然对于这个问题，进制转换法是最优解，但也可以考虑动态规划：
def checkPowersOfThree_dp(n: int) -> bool:"""动态规划解法（仅作参考，实际效率较低）"""if n <= 0:return False# 生成所有可能的3的幂次方powers = []power = 1while power <= n:powers.append(power)power *= 3# 使用集合记录可达的数字reachable = {0}for p in powers:new_reachable = set()for num in reachable:if num + p <= n:new_reachable.add(num + p)reachable.update(new_reachable)return n in reachable
实际应用场景
- 数字编码：在某些编码系统中，需要将数字表示为特定幂次方的和
- 数据压缩：利用幂次方的特性进行数据压缩
- 数学研究：在数论研究中，幂次方的表示是一个重要问题
总结
LeetCode 1780这道题目通过进制转换的思想，巧妙地解决了判断一个数字是否可以表示成3的幂的和的问题。核心思路是：
- 问题转化：将原问题转化为三进制表示问题
- 关键观察：三进制表示中不能包含2
- 算法实现：通过不断除以3并检查余数来判断
这道题目不仅考察了算法思维，也体现了数学思维在算法设计中的重要作用。掌握这种进制转换的思想，对于解决类似问题具有重要的启发意义。
关键词：LeetCode、算法、进制转换、3的幂、数学思维、Python