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第一章随机事件与概率

news 2025/8/15 11:11:53

专题一事件与概率的概念

1.随机试验的定义

（抛骰子）

对随机现象进行观察称为随机试验，简称试验，记作 $E$ 。它具有以下特点：

（1）可以在相同条件下重复进行；

（2）所有可能结果事前可知；

（3）试验之前不能确定哪个结果会发生。

2.事件的定义

试验中最小单位的结果称为样本点或基本事件，记作 $\omega$ 。

例如：抛骰子，样本点 $\left \{ 1 \right \},\cdots\left \{ 6 \right \}$

样本点的全体称为样本空间或必然事件，记作 $\Omega$ 。

样本空间的子集称为随机事件，简称事件，记作 $A,B,C$ 。

（试验结果，样本点的集合）

空集 $\varnothing$ 不包含任何样本点，每次试验都不发生，称为不可能事件。

3.事件的关系与运算

（1）包含：若事件 $A$ 发生，事件 $B$ 一定发生，则称 $B$ 包含 $A$ 或 $A$ 包含于 $B$ ，记作 $A\subset B$ 。

特别地，若 $A\subset B$ 且 $B\subset A$ ，则称 $A$ 与 $B$ 相等，记作 $A=B$ ；

注：一次试验只有一个样本点发生，若A中的样本点发生则称A发生

（2）和：事件 $A$ 与 $B$ 至少有一个发生，称为 $A$ 与 $B$ 的和，记作 $A\cup B$ ；

（3）积：事件 $A$ 与 $B$ 同时发生，称为 $A$ 与 $B$ 的积，记作 $AB$ ；

（4）互不相容：若事件A与B不能同时发生，即 $AB = \varnothing$ ，则称A与B互不相容或互斥； $A\overline{B}=A$

（5）对立：若事件A与B不能同时发生，但必有一个发生，即 $A\cup B = \Omega$ 且 $AB = \varnothing$ ，则称A与B对立，记作 $B = \overline{A}$ ；逆

（6）差：事件A发生但事件B不发生，称为A与B的差，记作A-B。显然 $A - B = A\overline{B}$ 。

4.事件的运算律

（1）交换律 $A\cup B = B\cup A$ ， $AB = BA$ ；

（2）结合律 $A\cup(B\cup C)=(A\cup B)\cup C$ ， $A(BC)=(AB)C$ ；

（3）分配律 $A\cup(BC)=(A\cup B)(A\cup C)$ ， $A(B\cup C)=(AB)\cup(AC)$ ；

（4）摩根律 $\overline{A\cup B}=\overline{A}\cdot \overline{B}$ ， $\overline{AB}=\overline{A}\cup\overline{B}$ ；

（5）吸收律 $A\cup(AB)=A$ ， $A(A\cup B)=A$ 。并交B 和交并B 结果都是A

5.概率的定义

定义和性质3+5条

设试验的样本空间为 $\Omega$ ，称满足下列条件的事件集上的函数 $P(\cdot)$ 为概率：

（1）（非负性）对任意事件，有 $P(A)\geq0$ ；

（2）（规范性） $P(\Omega)=1$ ；

（3）（可列可加性）若 $A_1,A_2,\cdots,A_n,\cdots$ 为两两互不相容的事件，则 $P\left(\bigcup_{n = 1}^{\infty}A_n\right)=\sum_{n = 1}^{\infty}P(A_n)$ 。事件相并的概率（总面积）等于事件概率的和

6.概率的性质

（1） $P(\varnothing)=0$ ；

（2）（有限可加性）若 $( A_1, A_2, \cdots, A_n )$ 两两互不相容，则 $P\left(\bigcup_{i = 1}^{n}A_i\right)=\sum_{i = 1}^{n}P(A_i)$ ；

（3）（求逆公式） $P(\overline{A})=1 - P(A)$ ；

（4）（减法公式） $P(A - B)=P(A\overline{B})=P(A)-P(AB)$ ；

特别地，若 $B\subset A$ ，则 $P(A - B)=P(A)-P(B)$ ，得 $P(B)\leq P(A)$ ；

（5）（加法公式） $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(AB)$ ；

求 $P(AB)$ 用条件概率

$P(A\cup B\cup C)$ $=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC)$

+单个元素项-双个元素项+单个元素项-双个元素项

专题二古典概型与几何概型

1.知识回顾

加法原理

设完成一件事有 $n$ 类方法，第 $i$ 类方法有 $m_i$ 种 $(i = 1, 2, \dots, n)$ ，则完成这件事共有：
$N = m_1 + m_2 + \cdots + m_n$ 种方法。

乘法原理

设完成一件事须有 $n$ 个步骤，第 $i$ 步有 $m_i$ 种方法 $(i = 1, 2, \dots, n)$ ，则完成这件事共有：
$N = m_1 \times m_2 \times \cdots \times m_n$ 种方法。

评注：加法原理与乘法原理的区别在于，前者完成任何一类方法即完成一件事，后者须所有步骤均完成才算完成。

简记为“分类加法，分步乘法”。

排列

排列：从 $n$ 个不同元素中任取 $m$ （ $m \leq n$ ）个元素按一定顺序排列，称为一个排列，排列数为：

$A_n^m = n(n-1)\cdots(n-m+1) = \frac{n!}{(n-m)!}$

全排列（ $m = n$ ）的种数为 $n!$ ，规定 $0! = 1$ 。

组合

从 $n$ 个不同元素中取出 $m$ 个元素不考虑顺序，称为一个组合，组合数为：

$C_n^m = \frac{A_n^m}{m!} = \frac{n!}{m!(n-m)!}$

组合性质：

对称性： $C_n^m = C_n^{n-m}$
递推关系： $C_n^m = C_{n-1}^m + C_{n-1}^{m-1}$

2.古典概型的定义

设试验的样本空间 $\Omega$ 仅有有限个等可能样本点，事件 $A$ 的概率为：

$P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|}$

其中 $|A|$ 为事件 $A$ 的样本点数， $|\Omega|$ 为样本空间的总样本点数。

骰子小点的概率为： $\frac{C_3^1}{C_6^1}=\frac{3}{6}$

3.几何概型的定义

设试验的样本空间为某区域，事件发生的可能性与其对应的几何度量成正比，称此试验为几何概型。事件 $A$ 的概率为
$P(A)=\frac{A}{C}$

其中A是A的几何度量，B是B的几何度量

评注：古典概型是离散型随机变量的概率分布，几何概型是均匀分布的试验背景。

专题三三大概率公式

1.条件概率公式

设 $A,B$ 为随机事件，且 $P(B)>0$ ，称
$P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)}$
为在 $B$ 发生条件下 $A$ 发生的条件概率。

推论（乘法公式）
$P(AB)=P(B)P(A|B)$
$P(A_1A_2\cdots A_n)=P(A_1)P(A_2|A_1)P(A_3|A_1A_2)\cdots P(A_n|A_1\cdots A_{n-1})$

评注：

条件概率可借助缩减样本空间计算；
条件概率满足概率的所有性质。

例 $P(\overline{A}|B)=1-P(A|B)$

2.全概率公式

设 $B_1,B_2,\cdots,B_n$ 为完备事件组（即 $B_iB_j=\varnothing$ 且 $\bigcup_{i=1}^{n}B_i=\Omega$ ），则
$P(A)=\sum_{i=1}^{n}P(AB_i)=\sum_{i=1}^{n}P(B_i)P(A|B_i)$

分割样本空间

3.贝叶斯公式

设 $P(A)>0$ ，则
$P(B_j|A)=\frac{P(A|B_j)P(B_j)}{\sum_{i=1}^{n}P(A|B_i)P(B_i)}$

证明： $P(B_j|A)=\frac{P(AB_j)}{P(A)}=\frac{P(A|B_j)P(B_j)}{\sum_{i=1}^{n}P(A|B_i)P(B_i)}$

也就是条件概率的乘法公式 / 全概率公式

评注：

若试验分两步，第一步对应完备事件组 $B_1,\cdots,B_n$ ，求第二步事件 $A$ 的概率用全概率公式；
若已知 $A$ 发生，反推第一步某情况 $B_j$ 的概率用贝叶斯公式。

专题四事件独立性与伯努利概型

1.事件相互独立的定义

设随机事件 $A,B$ 满足 $P(AB)=P(A)P(B)$ ，称 $A$ 与 $B$ 相互独立。（互不影响）

2.事件相互独立的充要条件

事件 $A$ 与 $B$ 相互独立
$\Leftrightarrow P(AB)=P(A)P(B)=P(A|B)P(B)$
$\Leftrightarrow P(A|B)=P(A) \Leftrightarrow P(A|\overline{B})=P(A) \Leftrightarrow P(A|B)=P(A|\overline{B}) (0<P(B)<1)$
$\Leftrightarrow A$ 与 $\overline{B}$ 或 $\overline{A}$ 与 $B$ 或 $\overline{A}$ 与 $\overline{B}$ 相互独立
$\Leftrightarrow P(A|B)+P(\overline{A}|\overline{B})=1 (0<P(B)<1)$