[动态规划]最长公共子序列（LCS）

题目描述

 一个给定的子序列是在该序列中删去若干元素后得到的序列。例如，序列z=<B,C,D,B> 是序列X=<A,B,C,B,D,A,B>的子序列；
给定两个序列X和Y，当另一序列Z既是X的子序列又是Y的子序列时，称Z是序列X，Y的公共子序列。
例如，若X=<A,B,C,B,D,A,B>，Y=<B,D,C,A,B,A>，
那么：<B,C,A>是X和Y的一个公共子序列，<B,C,B,A>也是X和Y的一个公共子序列；
编程求出给定的两个序列中，最长公共子序列的长度。

输入

共两行，各一个字符串，第一个字符串表示第一个序列，第二个字符串表示第二个序列，两个字符串长度均小于1000。

输出

一个整数，即两个序列的公共子序列的长度。

样例输入

aabaaecd
abcd

样例输出

4

思路分析

	a	a	b	a	a	e	c	d
a	1	1	1	1	1	1	1	1
b	1	1	2	2	2	2	2	2
c	1	1	2	2	2	2	3	3
d	1	1	2	2	2	2	3	4

动态规划。

dp[i][j]存储 字符串a的前i个字符 与 字符串b的前j个字符 的公共子序列的最大长度。

当a[i]=b[j]时，更新dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1。

当a[i]≠b[j]时，更新dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-1])。

以本题样例为例，求解两字符串最长公共子序列长度，本质就是构建以上二维表格。

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
int m,n;
string a,b;
int main(){ios::sync_with_stdio(0),cin.tie(0),cout.tie(0);cin>>a>>b;m=a.size();n=b.size();vector<vector<int>>dp(m+1,vector<int>(n+1,0));for(int i=1;i<=m;i++){for(int j=1;j<=n;j++){if(a[i-1]==b[j-1]){dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1;}else{dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-1]);}}}cout<<dp[m][n];return 0;
}