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平衡二叉树（AVL）解析与实现

news 2025/8/12 11:07:20

一、平衡二叉树的核心概念

平衡二叉树是一种自平衡的二叉搜索树（BST），通过约束树的结构确保任意节点的左右子树高度差不超过 1（AVL 树）或通过颜色规则保持平衡（红黑树）。其核心目标是避免 BST 在最坏情况下退化为链表，确保查找、插入、删除操作的时间复杂度稳定在 O (log n)。

核心特性：

AVL 树：
- 每个节点的平衡因子（左子树高度 - 右子树高度）绝对值≤1。
- 通过左旋、右旋等旋转操作恢复平衡。
- 插入 / 删除后最多需 2 次旋转即可恢复平衡。
红黑树：
- 节点颜色为红或黑，根节点和叶子节点（NIL）为黑色。
- 红色节点的子节点必须为黑色，且从任一节点到其叶子的所有路径包含相同数量的黑色节点。
- 通过颜色翻转和旋转调整平衡，插入 / 删除后最多需 3 次旋转。

核心价值：

性能稳定性：避免 BST 在有序插入时退化为链表（时间复杂度 O (n)→O (log n)）。
动态调整能力：自动通过旋转或颜色调整维持平衡，适应频繁数据变动。

二、AVL 树的结构与实现

节点定义（C++）

struct AVLNode {int val;AVLNode* left;AVLNode* right;int height; // 记录子树高度（用于计算平衡因子）AVLNode(int x) : val(x), left(nullptr), right(nullptr), height(1) {}
};

核心操作：旋转

1. 左旋（Right Heavy → 右子树过高）

AVLNode* leftRotate(AVLNode* x) {AVLNode* y = x->right;x->right = y->left;y->left = x;// 更新高度x->height = max(getHeight(x->left), getHeight(x->right)) + 1;y->height = max(getHeight(y->left), getHeight(y->right)) + 1;return y; // 返回新根节点
}

2. 右旋（Left Heavy → 左子树过高）

AVLNode* rightRotate(AVLNode* y) {AVLNode* x = y->left;y->left = x->right;x->right = y;// 更新高度y->height = max(getHeight(y->left), getHeight(y->right)) + 1;x->height = max(getHeight(x->left), getHeight(x->right)) + 1;return x;
}

3. 四种失衡类型处理

失衡类型	条件	调整操作
LL	左子树的左子树插入节点	右旋当前节点
RR	右子树的右子树插入节点	左旋当前节点
LR	左子树的右子树插入节点	先左旋左子树，再右旋当前节点
RL	右子树的左子树插入节点	先右旋右子树，再左旋当前节点

AVLNode* insert(AVLNode* root, int val) {if (!root) return new AVLNode(val);if (val < root->val) root->left = insert(root->left, val);else root->right = insert(root->right, val);// 更新高度root->height = max(getHeight(root->left), getHeight(root->right)) + 1;// 检查平衡因子int balance = getBalance(root);// LLif (balance > 1 && val < root->left->val) return rightRotate(root);// RRif (balance < -1 && val > root->right->val) return leftRotate(root);// LRif (balance > 1 && val > root->left->val) {root->left = leftRotate(root->left);return rightRotate(root);}// RLif (balance < -1 && val < root->right->val) {root->right = rightRotate(root->right);return leftRotate(root);}return root;
}

四、平衡二叉树的遍历与验证

中序遍历（验证有序性）

void inorderTraversal(AVLNode* root) {if (!root) return;inorderTraversal(root->left);cout << root->val << " ";inorderTraversal(root->right);
}

平衡因子验证

int getBalance(AVLNode* node) {return node ? getHeight(node->left) - getHeight(node->right) : 0;
}bool isBalanced(AVLNode* root) {if (!root) return true;int balance = getBalance(root);return abs(balance) <= 1 && isBalanced(root->left) && isBalanced(root->right);
}

五、AVL 树与红黑树对比

特性	AVL 树	红黑树
平衡条件	严格平衡（高度差≤1）	适度平衡（最长路径≤最短路径 ×2）
插入 / 删除调整	最多 2 次旋转	最多 3 次旋转 + 颜色调整
时间复杂度	O (log n)（查找更优）	O (log n)（插入 / 删除更优）
应用场景	静态数据、频繁查找	动态数据、频繁插入 / 删除
实现复杂度	较高	中等