【线性代数】线性方程组与矩阵——行列式

1. 行列式的引入

• 线性方程：形如$a_1{x}_1+a_2{x}_2+\cdots +a_n{x}_n=b$的方程，其中$a_i$为已知系数，$x_i$为未知数，$b$是常数项。未知数（也称为元）的个数可以限定描述线性方程，比如含2个未知数的线性方程称为二元线性方程。
• 线性方程组：由多个线性方程组成的系统
• 研究使用消元法解二元线性方程组

$$\{\begin{array}{l}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2=b_1\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2=b_2\end{array}\text{\hspace{1em}(1)}$$

消去$x_2$，易得$(a_{11}{a}_{22}-a_{12}{a}_{21})x_1=b_1{a}_{22}-a_{12}{b}_2$

消去$x_1$，易得 $(a_{11}{a}_{22}-a_{12}{a}_{21})x_2=a_{11}{b}_2-b_1{a}_{21}$

当$a_{11}{a}_{22}-a_{12}{a}_{21}\ne 0$时，得到方程组(1)的解为

$$x_1=\frac{b_1{a}_{22}-a_{12}{b}_2}{a_{11}{a}_{22}-a_{12}{a}_{21}},x_2=\frac{a_{11}{a}_{22}-a_{12}{a}_{21}}{a_{11}{a}_{22}-a_{12}{a}_{21}}\text{\hspace{1em}(2)}$$

观察到$x_1,x_2$的分子、分母都是4个数分2对相乘再相减得到，其中分母由方程组(1)的4个系数决定，把这4个数按照方程组(1)中的位置，排成2行2列（横排为行，竖排为列）的数表

$$\begin{gathered} a_{11},a_{12} \\ {a}_{21},a_{22}\text{\hspace{1em}(3)} \end{gathered}$$

表达式$a_{11}{a}_{22}-a_{12}{a}_{21}$称为数表(3)所确定的二阶行列式，并记作

$$\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right|\text{\hspace{1em}(4)}$$

数$a_{ij}$称为行列式(4)的元素或元，$i$称为行标，$j$称为列标。

上述二阶行列式的定义，可以用对角线法则来记忆：从$a_{11}$到$a_{22}$的实连线称为主对角线，从$a_{12}$到$a_{21}$的虚连线称为副对角线，则二阶行列式等于主对角线上2元素之积减去副对角线上2元素之积。

利用二阶行列式的概念，(2)式中的$x_1,x_2$可以简洁地写作

$$x_1=\frac{\left|\begin{array}{cc}{b}_1& a_{12}\\ b_2& a_{22}\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right|},x_2=\frac{\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& b_1\\ a_{21}& b_2\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right|}\text{\hspace{1em}(5)}$$

(5)式中的分母也称为系数行列式。

同样的过程，可以定义三阶行列式

$$\begin{gathered} \left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right| \\ =a_{11}{a}_{22}{a}_{33}+a_{12}{a}_{23}{a}_{31}+a_{13}{a}_{21}{a}_{32}- \\ (a_{13}{a}_{22}{a}_{31}+a_{23}{a}_{32}{a}_{11}+a_{33}{a}_{12}{a}_{21}) \end{gathered}$$

也可以使用对角线法则记忆：三阶行列式等于所有主对角线上3元素积之和，减去所有副对角线上3元素积之和。

对角线法则只适用于二阶及三阶行列式。

• 排列：把 $n$ 个不同的元素排成一列，称为这 $n$ 个元素的排列。 $n$ 个不同元素的所有排列种数 $P_n=n!$。
• 逆序数：对于排列的 $n$ 个不同的元素，先规定各元素之间有一个标准次序，如果这个 $n$ 个不同的元素的排列中，某一对元素的先后次序与标准次序不同，则称它构成1个逆序。一个排列中逆序的总数称为这个排列的逆序数。
  • 逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为偶数的排列称为偶排列。
  • 逆序数的计算：首先规定从小到大为标准次序，然后遍历所有2个元素的顺序与标准次序比较得到的逆序之和为逆序数。
• 对换：在排列中，将任意两个元素对调，其余元素位置不变，称为对换，将相邻的两个元素对换，称为相邻对换。
• 对换的性质：
  • 一个排列中任意两个元素对换，排列的奇偶性改变。先考虑相邻对换改变奇偶性，再考虑对换可由多次相邻对换替代。
  • 奇排列对换成标准排列的对换次数为奇数，偶排列对换成标准排列的对换次数为偶数。标准排列的逆序数为0，是偶排列。
• 结合排列和对换，三阶行列式可写为：
  $$\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right|=\sum _{\sigma }(-1{)}^{\tau (\sigma )}{a}_{1{\sigma }_1}{a}_{2{\sigma }_2}{a}_{3{\sigma }_3}$$
  其中，$\sigma$表示 {1,2,3}\{1,2,3\}{1,2,3} 的所有排列，$\tau (\sigma )$表示排列$\sigma$的逆序数，${\sigma }_i$ 表示排列的第 $i$ 个元素。

由该表达，可以将行列式推广到 $n$ 阶行列式：

$$\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \dots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \dots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \dots & a_{nn}\end{array}\right|=\sum _{\sigma }(-1{)}^{\tau (\sigma )}{a}_{1{\sigma }_1}{a}_{2{\sigma }_2}\dots a_{n{\sigma }_n}$$

按此定义的二阶、三阶行列式与对角线法则定义的结果一致。当 $n=1$ 时，一阶行列式 $|a|=a$，即为数 $a$ 本身。

主对角线以上（下）的元素都为0的行列式称为上（下）三角形行列式。主对角线以上和以下的元素都为0的行列式，称为对角行列式。

根据 $n$ 阶行列式的定义，其组成的每一项都由行和列的完整排列的元素构成，因此上（下）三角形行列式以及对角行列式要使得组成项非0，只能选择主对角线上的元素，因此上（下）三角形行列式以及对角行列式的值等于主对角线上元素之积。

2. 行列式的性质

• 行列式与它的转置行列式相等，即$|A|=|A^T|$。
  • 行列式的组成项的正负是由行标排列与列标排列的逆序数之和的奇偶性决定的，对换组成项中的两元素的次序，行标排列和列标排列的奇偶性都发生改变，但是逆序数之和的奇偶性不变，经过多次对换，列标排列变为标准排列
  • 另外由于行标和列标具有绑定关系，对换后的行标排列由列标排列惟一确定
  • 行列式的行与列具有同等的地位，可以将行列式的行与列互换，行列式的值不变
• 对换行列式的两行（列）（记作 $r_i\leftrightarrow r_j,c_i\leftrightarrow c_j$），行列式的值改变符号。
  • 所有组成项中都含有被对换的行（列）的元素，而且可以发现对换两行（列），涉及元素仅行标（列标）发生对换，行标排列和列标排列的逆序数之和的奇偶性改变，因此行列式的值改变符号
  • 如果行列式有两行（列）完全相同，则行列式的值为0
• 行列式的某一行（列）的每个元素都乘以同一个数 $k$(记作 $k{r}_i,k{c}_i$)，等于用数k乘此行列式。
  • 所有组成项都含有被乘行（列）的1个元素，因此可以提公因子 $k$
  • 行列式中某一行（列）的公因子可以提到行列式的外面
  • 如果行列式中有两行（列）成比例，则行列式的值为0
• 行列式的某一行（列）的元素都是两个已知数之和，则行列式可以拆分为两个行列式之和。
• 把行列式的某一行（列）的元素全部乘以同一个数 $k$，加到另一行（列）的对应元素上去(记作 $r_j+k{r}_i,c_j+k{c}_i$)，行列式的值不变。
• 计算行列式时，可以利用行列式的性质，将行列式化简为上（下）三角形行列式，再计算行列式的值。
  • 在计算过程中，尽可能让主对角线上的元素为该线下同列元素的因子，可以使得计算过程更加简便。
  • 构造全是1的行（列），可以快速的减小元素的值，使得计算过程更加简便。
  • 如果行列式 $D=\left|\begin{array}{cc}{D}_1& O\\ X& D_2\end{array}\right|$，那么 $D=|D_1||D_2|$。

3. 行列式的展开定理

• 一般来说，低阶行列式的计算比高阶行列式的计算要简单，因此，很自然地考虑用低阶行列式来表示高阶行列式。
• 在 $n$ 阶行列式中，把 $(i,j)$ 元 $a_{ij}$ 所在的第 $i$ 行和第 $j$ 列划去后，剩下的 $n-1$ 阶行列式称为 $(i,j)$ 元 $a_{ij}$ 的余子式，记作 $M_{ij}$，记 $A_{ij}=(-1{)}^{i+j}{M}_{ij}$，称 $A_{ij}$ 为 $(i,j)$ 元 $a_{ij}$ 的代数余子式。
• 一个 $n$ 阶行列式，如果其中第 $i$ 行所有元素除 $(i,j)$ 元外都为0，那么这个行列式等于 $a_{ij}$ 与它代数余子式的乘积，即 $D=a_{ij}{A}_{ij}$。
  • 考虑第1行除了第1个元素外都为0，结论显然成立
  • 其他情形可以通过行列对换转换为第1行除了第1个元素外都为0的情形
• 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和，即 $D=\sum _{j=1}^n{a}_{ij}{A}_{ij}(i=1,2,\dots ,n)=\sum _{i=1}^n{a}_{ij}{A}_{ij}(j=1,2,\dots ,n)$
• 范德蒙德行列式
  $$D_n=\left|\begin{array}{cccc}1& 1& \dots & 1\\ x_1& x_2& \dots & x_n\\ x_1^2& x_2^2& \dots & x_n^2\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ x_1^{n-1}& x_2^{n-1}& \dots & x_n^{n-1}\end{array}\right|=\prod _{1⩽i<j⩽n}(x_j-x_i)$$
  • 采用数学归纳法证明
  • $D_1=1,D_2=x_2-x_1$
  • 将第1列除第一个元素外，利用行列式的性质化为0，然后按该列展开，得到 $D_n=(x_2-x_1)(x_3-x_1)\dots (x_n-x_1)\left|\begin{array}{cccc}1& 1& \dots & 1\\ x_2& x_3& \dots & x_n\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ x_2^{n-2}& x_3^{n-2}& \dots & x_n^{n-2}\end{array}\right|$
  • 按数学归纳法假设 $D_{n-1}=\left|\begin{array}{cccc}1& 1& \dots & 1\\ x_2& x_3& \dots & x_n\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ x_2^{n-2}& x_3^{n-2}& \dots & x_n^{n-2}\end{array}\right|=\prod _{2⩽i<j⩽n}(x_j-x_i)$，代入上式，得到 $D_n=\prod _{1⩽i<j⩽n}(x_j-x_i)$
• 行列式某一行（列）的元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和为0，即 $\sum _{k=1}^n{a}_{ik}{A}_{jk}=0(i\ne j)$，$\sum _{k=1}^n{a}_{ki}{A}_{kj}=0(i\ne j)$
  • 逆向思考：$\sum _{k=1}^n{a}_{ik}{A}_{jk}$意味着将行列式 $D$ 原来的第 $j$ 行的元素用第 $i$ 行的元素替换，行列式的值变为0。