对数运算法则（rule of logarithmic operations）和对应导数关系

一、常用对数运算法则

对数运算法则适用于任何底数 $b>0$ 且 $b\ne 1$ 的对数（常用对数 $\log$ 或自然对数 $\ln$）。以下是常用的基本法则（以 ${\log }_b$ 表示一般对数，$\ln$ 表示自然对数，即底数为 $e$）：

1. 乘法法则：
   $${\log }_b(xy)={\log }_{b}x+{\log }_{b}y$$
   解释：两个数的乘积的对数等于它们各自对数的和。
   示例：${\log }_2(8\cdot 4)={\log }_{2}8+{\log }_{2}4=3+2=5$。

2. 除法法则：
   $${\log }_b\left(\frac{x}{y}\right)={\log }_{b}x-{\log }_{b}y$$
   解释：两个数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数。
   示例：$\ln \left(\frac{e^3}{e}\right)=\ln (e^3)-\ln e=3-1=2$。

3. 幂法则：
   $${\log }_b(x^a)=a{\log }_{b}x$$
   解释：一个数的幂的对数等于指数乘以该数的对数。
   示例：${\log }_{10}(100^2)=2{\log }_{10}100=2\cdot 2=4$。

4. 换底公式：
   $${\log }_{b}a=\frac{{\log }_{k}a}{{\log }_{k}b}(k>0,k\ne 1)$$
   解释：可以将对数转换为任意底数 $k$ 的比值形式，常用于计算或化简。
   示例：${\log }_{2}8=\frac{\ln 8}{\ln 2}=\frac{\ln (2^3)}{\ln 2}=\frac{3\ln 2}{\ln 2}=3$。

5. 其他常用性质：

   • ${\log }_{b}b=1$（底数的对数为 1）。
   • ${\log }_{b}1=0$（1 的对数为 0）。
   • $b^{{\log }_{b}a}=a$（对数与指数的逆运算）。
   • ${\log }_b(x)=\frac{1}{{\log }_{x}b}$（倒数关系，需 $x>0,x\ne 1$）。

这些法则是化简和计算对数表达式的基础，适用于所有实数 $x>0$、$y>0$ 和实数指数 $a$。

二、自然对数（$\ln$）运算法则总结表

法则名称	表达式	说明
乘法法则	$\ln (xy)=\ln x+\ln y$	积的对数等于对数之和
除法法则	$\ln \left(\frac{x}{y}\right)=\ln x-\ln y$	商的对数等于对数之差
幂法则	$\ln (x^a)=a\ln x$	幂的对数等于指数乘以底数的对数
换底公式	${\log }_{b}a=\frac{\ln a}{\ln b}$	任意底数对数可转为自然对数比值
底数性质	$\ln e=1$	自然底数 (e) 的对数为 1
常数性质	$\ln 1=0$	1 的对数为 0
指数逆运算	$e^{\ln a}=a$	自然对数与指数互为逆运算

给定表达式：
$$e^{a\ln b-a\ln c}$$
其中 $a$ 是常数，$b>0$ 和 $c>0$ 是正实数，$\ln$ 是自然对数（底数为 $e$）。

步骤	转换过程	使用的法则
1	简化指数：$a\ln b-a\ln c=a(\ln b-\ln c)$	提取公因子 $a$
2	应用除法法则：$\ln b-\ln c=\ln \left(\frac{b}{c}\right)$，因此 $a(\ln b-\ln c)=a\ln \left(\frac{b}{c}\right)$	自然对数除法法则：$\ln \left(\frac{x}{y}\right)=\ln x-\ln y$
3	代入原表达式：$e^{a\ln b-a\ln c}=e^{a\ln \left(\frac{b}{c}\right)}$	—
4	应用指数规则：$e^{k\ln m}=m^k$（其中 $k=a$, $m=\frac{b}{c}$），因此 $e^{a\ln \left(\frac{b}{c}\right)}={\left(\frac{b}{c}\right)}^a$	自然对数与指数关系：$e^{\ln m}=m$，幂运算 $(e^{\ln m}{)}^k=m^k$

$$e^{a\ln b-a\ln c}={\left(\frac{b}{c}\right)}^a$$

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三、常用求导公式总结

一、基本函数求导公式

函数	导数公式	说明
常数函数	$\frac{d}{dx}(c)=0$	$c$ 为常数
幂函数	$\frac{d}{dx}(x^n)=n{x}^{n-1}$	$n$ 为实数
指数函数 ($e^x$)	$\frac{d}{dx}(e^x)=e^x$	—
指数函数 ($a^x$)	$\frac{d}{dx}(a^x)=a^x\ln a$	$a>0$ 且 $a\ne 1$
自然对数 ($\ln x$)	$\frac{d}{dx}(\ln x)=\frac{1}{x}$	$x>0$（核心公式）
一般对数 (${\log }_{a}x$)	$\frac{d}{dx}({\log }_{a}x)=\frac{1}{x\ln a}$	$a>0$ 且 $a\ne 1$

四、LN 相关求导公式

涉及 $\ln$ 的求导需特别注意 定义域（$x>0$ 或 $g(x)>0$）和 链式法则。

函数形式	导数公式	推导说明
$\ln x$（基本形式）	$\frac{d}{dx}(\ln x)=\frac{1}{x}$	直接应用定义
$\ln |x|$	$\frac{d}{dx}(\ln |x|)=\frac{1}{x}$	扩展定义域 ($x\ne 0$)
$\ln [g(x)]$（复合函数）	$\frac{d}{dx}\ln [g(x)]=\frac{g^{\prime }(x)}{g(x)}$	链式法则核心应用
$\ln (ax+b)$	$\frac{d}{dx}\ln (ax+b)=\frac{a}{ax+b}$	$ax+b>0$
$\ln [f(x)\cdot g(x)]$	$\frac{d}{dx}\ln [f\cdot g]=\frac{f^{\prime }}{f}+\frac{g^{\prime }}{g}$	乘法法则+链式法则
$\ln \left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]$	$\frac{d}{dx}\ln \left[\frac{f}{g}\right]=\frac{f^{\prime }}{f}-\frac{g^{\prime }}{g}$	除法法则+链式法则
$\ln [f(x){]}^n$	$\frac{d}{dx}\ln [f^n]=n\cdot \frac{f^{\prime }}{f}$	幂法则+链式法则

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五、$\ln$ 在特殊函数中的求导技巧

1. 对数微分法
   适用于幂指函数 $y=[f(x){]}^{g(x)}$ 或复杂乘积：

   • 步骤：
     (1) 取 $\ln$： $\ln y=\ln \left([f(x){]}^{g(x)}\right)=g(x)\cdot \ln f(x)$
     (2) 两边求导： $\frac{1}{y}\cdot y^{\prime }=g^{\prime }(x)\ln f(x)+g(x)\cdot \frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}$
     (3) 解出 $y^{\prime }$： $y^{\prime }=y\left[g^{\prime }(x)\ln f(x)+g(x)\cdot \frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}\right]$

   示例：求 $y=x^x$ 的导数：

   • $\ln y=x\ln x$
   • $\frac{y^{\prime }}{y}=\ln x+x\cdot \frac{1}{x}=\ln x+1$
   • $y^{\prime }=x^x(\ln x+1)$

2. 高阶导数公式

   • $\frac{d}{dx}(\ln x)=x^{-1}$
   • $\frac{d^n}{d{x}^n}(\ln x)=(-1{)}^{n-1}(n-1)!\cdot x^{-n}$

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六、ln 在特殊函数中的常见问题

1. $\ln$ 求导核心公式：

   • $\frac{d}{dx}\ln x=\frac{1}{x}$
   • 复合形式：$\frac{d}{dx}\ln [g(x)]=\frac{g^{\prime }(x)}{g(x)}$（务必检查 $g(x)>0$）

2. 定义域限制：

   • $\ln x$ 仅在 $x>0$ 可导；对 $\ln \Vert x\Vert$，定义域为 $x\ne 0$。

3. 简化技巧：

   • 对复杂函数（乘积/商/幂指），先用 $\ln$ 化简再求导（对数微分法）。

4. 常见错误：

   • 忽略链式法则（如 $\ln (x^2+1)$ 的导数不是 $\frac{1}{x^2+1}$，而是 $\frac{2x}{x^2+1}$）。
   • 忽略定义域（如 $\ln (x-2)$ 在 $x\le 2$ 无定义）。

附例：
求导 $\ln (\sin x)$：

• 设 $g(x)=\sin x$（需 $\sin x>0$，即 $x\in (2k\pi ,(2k+1)\pi )$）
• $\frac{d}{dx}\ln (\sin x)=\frac{\cos x}{\sin x}=\cot x$