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求和算法的向后稳定性 backward stable

news 2025/8/11 16:04:02

浮点数求和算法的向后稳定性 backward stable 说明。

1. 核心概念拆解

向后稳定性（Backward Stability）
一个算法是向后稳定的，如果它计算出的近似解等价于对某个“轻微扰动后的输入”的精确解。
数学表述：对问题 $y = f(x)$ ，算法计算出的 $\tilde{y}$ 满足：

$\tilde{y} = f(x + \Delta x), \quad \text{where \ } \|\Delta x\| \text{ is \ tiny}$

即误差可以完全“推给”输入数据的微小扰动。

条件数（Condition Number）
衡量问题本身的敏感性。若条件数 $\kappa$ 大，则输入的小扰动会导致输出的大变化。

相对误差界
向后稳定性保证计算结果的相对误差由条件数与一个小因子（tiny-factor)（如机器精度 $\epsilon$ ）的乘积控制：

$\frac{\|\tilde{y} - y\|}{\|y\|} \leq \text{tiny-factor} \times \kappa$

2. 浮点数求和中的向后稳定性

问题：计算 $S = \sum_{i=1}^n x_i$ （ $x_i \in \mathbb{R}$ ）。
浮点算法：由于舍入误差，实际计算的是 $\tilde{S} = \text{fl}(x_1 + \text{fl}(x_2 + \cdots + \text{fl}(x_{n-1} + x_n)\cdots))$

向后稳定性：
存在微扰 $\Delta x_i$ （如 $|\Delta x_i| \leq \epsilon |x_i|$ ），使得：

$\tilde{S} = \sum_{i=1}^n x_i (1 + \Delta x_i)$

即计算结果等价对输入数据 $x_i$ 施加微小相对扰动后的精确和。

误差分析：

若求和问题的条件数 $\kappa$ 小（如 $x_i$ 同号），则 $\frac{|\tilde{S} - S|}{|S|} \leq \epsilon \cdot \kappa$ 很小。

若 $\kappa$ 大（如正负抵消， $|S| \ll \sum |x_i|$ ），相对误差可能放大。

3. 关键点解析

向后稳定的本质：
算法误差表现为输入数据的等效扰动，而非算法本身的缺陷。
示例：

精确解 $S = 10^{10} + 1 - 10^{10} = 1$

浮点计算 $\tilde{S} = \text{fl}(10^{10} + \text{fl}(1 - 10^{10})) = 0$

向后稳定性说明存在 $\Delta x_i$ （如 $\Delta x_2 \approx -1$ ），使得 $10^{10} + 0 - 10^{10} = 0$

条件数的作用：

对求和问题，条件数为 $\kappa = \frac{\sum |x_i|}{|S|}$

若 $S \approx 0$ （如正负抵消）， $\kappa$ 极大，误差界失效。此时需高精度算法。

小因子的含义：
通常为机器精度 $\epsilon$ 或低阶多项式（如 $n\epsilon$ ）。

向后稳定性保证：

误差 <= 可忽略项 × 问题本身的敏感性

4. 对比前向稳定性

前向稳定性：直接控制输出误差 $\|\tilde{y} - y\|$

向后稳定性更强：通过“归咎于输入扰动”间接控制误差，适用于条件数敏感的问题。

5. 应用意义

算法设计时，向后稳定的算法（如递归求和）即使问题敏感，也能保证误差合理。

误差诊断时，若结果不准确，可能是问题本身（高 $\kappa$ ）而非算法问题。

经典案例：

向后稳定，矩阵 QR 分解（Householder 法）。

非向后稳定，经典 Gram-Schmidt 正交化。

向后稳定算法将计算误差转化为输入数据的微小扰动，其相对误差由条件数 × 机器精度级因子控制。

浮点求和的稳定性取决于问题的条件数，高条件数时需警惕（如避免大数相消）。

核心公式：

$\text{relative-error} \lesssim \epsilon \cdot \kappa$

6. 向后稳定性 vs. 向前稳定性的命名逻辑

(1) 向后稳定性（Backward Stability）

“向后”的含义：误差分析的方向是 “从输出回溯到输入”。
算法将计算误差 “归咎” 于输入数据的微小扰动，即：“如果输入数据稍微不同，那么当前的输出就是精确的。”

形象比喻：
假设你解方程时得到的结果有误差，向后稳定性说：“不是我的解法有问题，而是你的题目可能抄错了几个数字。”

(2) 向前稳定性（Forward Stability）

“向前”的含义：误差分析的方向是 “从输入传递到输出”。
算法直接控制输出结果的误差，即：“无论输入如何，我的计算结果都接近真实解。”

形象比喻：
直接保证：“我的解法给出的答案和标准答案的差距不超过某个界限。”

7. 数学本质对比

特性	向后稳定性	向前稳定性
定义	计算结果等于扰动后输入的精确解	计算结果与真实解的误差小
数学表述	$\tilde{y} = f(x + \Delta x)$	$\\|\tilde{y} - y\\| \leq \epsilon$
误差来源	等效输入扰动 $\Delta x$	直接输出误差
依赖条件数	误差界含条件数 $\kappa$	可能独立于条件数
强弱关系	向后稳定 ⇒ 向前稳定（反之不成立）	向前稳定不一定向后稳定