【高等数学】第八章 向量代数与空间解析几何——第四节 空间直线及其方程

上一节：【高等数学】第八章 向量代数与空间解析几何——第三节 平面及其方程
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1. 空间直线的一般方程

• 空间直线可以看做是两个平面的交线。通过空间一直线的平面有无限多个，只要在这无限多个平面中任意选取两个，把它们的方程联立起来，可得空间直线的一般方程
  $$\{\begin{array}{l}{A}_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_1=0,\\ A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_2=0.\end{array}$$
• 直线的方向向量$\mathbf{s}={\mathbf{n}}_1\times {\mathbf{n}}_2=\left|\begin{array}{ccc}\mathbf{i}& \mathbf{j}& \mathbf{k}\\ A_1& B_1& C_1\\ A_2& B_2& C_2\end{array}\right|$

2. 空间直线的对称式方程与参数方程

• 如果一个非零向量平行于一条已知直线，那么这个向量就叫做这条直线的方向向量
• 由于过空间一点可作而且只能作一条直线平行于一已知直线，所以当直线$L$上一点$M_0(x_0,y_0,z_0)$和它的一方向向量$\mathbf{s}=(m,n,p)$为已知时,直线$L$的位置就完全确定了. 由此可以得到空间直线的对称式方程或点向式方程
  $$\frac{x-x_0}{m}=\frac{y-y_0}{n}=\frac{z-z_0}{p}$$

  当分母取0时，对应的分子也要取0，其他非零值成比例

• 直线的任一方向向量$\mathbf{s}$的坐标$m$、$n$和$p$叫做这直线的一组方向数，而向量$\mathbf{s}$的方向余弦叫做该直线的方向余弦
• 由直线的对称式方程容易导出直线的参数方程. 设
  $$\frac{x-x_0}{m}=\frac{y-y_0}{n}=\frac{z-z_0}{p}=t,$$
  则$$\{\begin{array}{l}x=x_0+mt,\\ y=y_0+nt,\\ z=z_0+pt.\end{array}$$
  称为直线的参数方程.

3. 两直线的夹角

• 两直线的方向向量的夹角（通常指锐角或直角）叫做两直线的夹角
  $$\cos ⟨{\mathbf{s}}_1,{\mathbf{s}}_2⟩=\frac{|{\mathbf{s}}_1\cdot {\mathbf{s}}_2|}{|{\mathbf{s}}_1||{\mathbf{s}}_2|}$$
• 两直线$L_1$和$L_2$互相垂直相当于$m_1{m}_2+n_1{n}_2+p_1{p}_2=0$
• 两直线$L_1$和$L_2$互相平行或重合相当于$\frac{m_1}{m_2}=\frac{n_1}{n_2}=\frac{p_1}{p_2}$.

4. 直线与平面的夹角

• 当直线与平面不垂直时,直线和它在平面上的投影直线的夹角$\phi \left(0⩽\phi <\frac{\pi }{2}\right)$称为直线与平面的夹角，当直线与平面垂直时，规定直线与平面的夹角为$\frac{\pi }{2}$.
  $$\sin \phi =\sin (\frac{\pi }{2}-⟨\mathbf{n},\mathbf{s}⟩)=\cos ⟨\mathbf{n},\mathbf{s}⟩$$
• 直线与平面垂直相当于
  $$\frac{A}{m}=\frac{B}{n}=\frac{C}{p}$$
• 直线与平面垂直相当于$$\frac{A}{m}=\frac{B}{n}=\frac{C}{p}$$

5. 平面束

• 通过定直线的所有平面的全体称为平面束
• 平面束的方程$$A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_1+\lambda (A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_2)=0$$（实际上表示缺失了平面$A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_2=0$的平面束）

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