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【线性代数】6二次型

news 2025/8/13 13:51:05

1.二次型&系数矩阵

二次型： $n$ 个变量的二次齐次多项式。像“混合相乘的平方和”，例如 $2x^2 + 3xy + y^2$ 。

多项式展开形式： $f(x_1, x_2, \ldots, x_n) = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_{ij} x_i x_j \quad (a_{ij} = a_{ji})$

矩阵-向量形式： $f(\mathbf{z})=\mathbf{z}^TA\mathbf{z}$ ， $\mathbf{z}=(x_1,x_2,\ldots,x_n)^T$

二次型的系数矩阵 $A$ ：所有的二次型都有对称的系数矩阵( $A^T = A$ )，元素 $a_{ij}$ 为 $x_i x_j$ 项的系数

把变量间的相乘系

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