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【缩点拓扑序】P3119 [USACO15JAN] Grass Cownoisseur G|省选-

news 2025/8/8 5:53:40

本文涉及知识点

C++图论

P3119 [USACO15JAN] Grass Cownoisseur G

题目描述

为了更好地管理牛群的放牧路线，Farmer John 在他的农场中安装了若干单向牛道。农场由 $N$ 块草场组成，编号为 $1$ 到 $N$ ，每条单向牛道连接一对草场。例如，若存在一条从草场 $X$ 到 $Y$ 的路径，则牛可以从 $X$ 前往 $Y$ ，但不能从 $Y$ 返回 $X$ 。

众所周知，Bessie 喜欢尽可能多地品尝不同草场的牧草。她每天从草场 $1$ 出发，访问一系列草场后返回草场 $1$ 。她试图最大化沿途经过的不同草场数量（重复访问的草场只算一次）。

由于单向路径的限制，Bessie 担心这会减少她每日路线中可以访问的草场数量。她想知道如果她违反规则，在路线中最多逆向通过某条道路一次，最多能品尝多少草场的牧草。请计算她从草场 $1$ 出发并返回的情况下，最多能访问的不同草场数量。注意 Bessie 在整个旅程中最多只能逆向通过一条道路，且同一条路径不能逆向两次。

输入格式

第一行包含两个整数 $N$ 和 $M$ ，表示草场数量和单向牛道数量（ $\leq N, M \leq 100,000$ ）。

接下来 $M$ 行每行描述一条单向牛道，包含两个不同的整数 $X$ 和 $Y$ ，表示从 $X$ 到 $Y$ 的单向路径。保证每条路径不会重复出现。

输出格式

输出一行，表示 Bessie 在最多逆向通过一条道路的情况下，从草场 $1$ 出发并返回时能访问的最大不同草场数量。

输入输出样例 #1

输入 #1

输出 #1

说明/提示

样例解析：

以下是样例输入的 ASCII 图示：

v---3-->6
7   | \ |
^\  v  \|
| \ 1   |
|   |   v
|   v   5
4<--2---^

Bessie 可以通过逆向路径 $5→35\to 3$ 访问草场 $1, 2, 4, 7, 2, 5, 3, 1$ 。到达草场 $3$ 后，若不再次逆向其他路径则无法前往 $6$ 。

缩点拓扑排序

注意：任意道路正向行驶的次数不限。逆行只能0次或1次。逆行和正向行驶互相不影响。
习惯从0开始。
性质一：最优解可能无逆行。如： $\rightarrow 1 \rightarrow 0$ 。
性质二：能够到达环上任意一点，则能够到达任意环。
小结一：环可以缩点。
dis1[i]记录从0出发到i经过的最多农场。
dis2[i]记录从i出发到达0经过的最多农场。可将边反向，和vis1[i]一样求。
情况一：不逆序，结果是dis1[0]。
情况二：逆序一次，我们假定逆行的边是uv。
前提一：存在路径一 $0→v0\rightarrow v$ 。
前提二：存在路径二 $\rightarrow 0$ 。
前提三：以上两条路径可以不包括 $\rightarrow v$ 。

前提三

性质三：如果 $\rightarrow v，包括u \rightarrow v$ ,则：
存在 $\rightarrow u$ 的路径，即u在0所在的环。
性质五：如果 $\rightarrow 0包括u \rightarrow v$ ,则存在 $\rightarrow 0$ d路径。即v和0在同一个环。
枚举缩点后的边uv：
情况一; $0≠u且0≠v0\neq u且0 \neq v$ ，路径一和路径二，都不包括uv，正常处理。
情况二： $0 == u 且 0 == v$ ，自环必须忽略，否则出错。
情况三： $0==u,0≠v0==u,0\neq v$ ，路径一和路径二不逆序，先路径一，逆行(vu)，路径二。下图的路径：
$\rightarrow 1_{\rightarrow}^{逆行} 0$
在这里插入图片描述
情况四： $\neq u,0 == v$ 。和情况三类似。

实现

ans = dis[0]。
ans = $max_{缩点后存在边uv}(ans,dis1[v]+dis2[u] - 0点所在环大小)$ 0所在的环，dis1和dis2各计算了一次。
除0外，dis1[v]和dis2[u]不包括相同的点，否则整个路径是环，会被缩点。

求dis1

初始dis1[0]=1，其它为0。按拓扑序逆序处理cur，通过child枚举cur缩点后的孩子。
dis1[child] = max(dis1[child],dis1[cur]+此点所在环大小)

经典样例

在这里插入图片描述

代码

核心代码

#include <iostream>
#include <sstream>
#include <vector>
#include<map>
#include<unordered_map>
#include<set>
#include<unordered_set>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<functional>
#include<queue>
#include <stack>
#include<iomanip>
#include<numeric>
#include <math.h>
#include <climits>
#include<assert.h>
#include<cstring>
#include<list>#include <bitset>
using namespace std;template<class T1, class T2>
std::istream& operator >> (std::istream& in, pair<T1, T2>& pr) {in >> pr.first >> pr.second;return in;
}template<class T1, class T2, class T3 >
std::istream& operator >> (std::istream& in, tuple<T1, T2, T3>& t) {in >> get<0>(t) >> get<1>(t) >> get<2>(t);return in;
}template<class T1, class T2, class T3, class T4 >
std::istream& operator >> (std::istream& in, tuple<T1, T2, T3, T4>& t) {in >> get<0>(t) >> get<1>(t) >> get<2>(t) >> get<3>(t);return in;
}template<class T1, class T2, class T3, class T4,class T5 >
std::istream& operator >> (std::istream& in, tuple<T1, T2, T3, T4,T5>& t) {in >> get<0>(t) >> get<1>(t) >> get<2>(t) >> get<3>(t) >> get<4>(t);return in;
}template<class T1, class T2, class T3, class T4, class T5,class T6 >
std::istream& operator >> (std::istream& in, tuple<T1, T2, T3, T4, T5,T6>& t) {in >> get<0>(t) >> get<1>(t) >> get<2>(t) >> get<3>(t) >> get<4>(t) >>get<5>(t);return in;
}template<class T = int>
vector<T> Read() {int n;cin >> n;vector<T> ret(n);for (int i = 0; i < n; i++) {cin >> ret[i];}return ret;
}
template<class T = int>
vector<T> ReadNotNum() {vector<T> ret;T tmp;while (cin >> tmp) {ret.emplace_back(tmp);if ('\n' == cin.get()) { break; }}return ret;
}template<class T = int>
vector<T> Read(int n) {vector<T> ret(n);for (int i = 0; i < n; i++) {cin >> ret[i];}return ret;
}template<int N = 1'000'000>
class COutBuff
{
public:COutBuff() {m_p = puffer;}template<class T>void write(T x) {int num[28], sp = 0;if (x < 0)*m_p++ = '-', x = -x;if (!x)*m_p++ = 48;while (x)num[++sp] = x % 10, x /= 10;while (sp)*m_p++ = num[sp--] + 48;AuotToFile();}void writestr(const char* sz) {strcpy(m_p, sz);m_p += strlen(sz);AuotToFile();}inline void write(char ch){*m_p++ = ch;AuotToFile();}inline void ToFile() {fwrite(puffer, 1, m_p - puffer, stdout);m_p = puffer;}~COutBuff() {ToFile();}
private:inline void AuotToFile() {if (m_p - puffer > N - 100) {ToFile();}}char  puffer[N], * m_p;
};template<int N = 1'000'000>
class CInBuff
{
public:inline CInBuff() {}inline CInBuff<N>& operator>>(char& ch) {FileToBuf();ch = *S++;return *this;}inline CInBuff<N>& operator>>(int& val) {FileToBuf();int x(0), f(0);while (!isdigit(*S))f |= (*S++ == '-');while (isdigit(*S))x = (x << 1) + (x << 3) + (*S++ ^ 48);val = f ? -x : x; S++;//忽略空格换行		return *this;}inline CInBuff& operator>>(long long& val) {FileToBuf();long long x(0); int f(0);while (!isdigit(*S))f |= (*S++ == '-');while (isdigit(*S))x = (x << 1) + (x << 3) + (*S++ ^ 48);val = f ? -x : x; S++;//忽略空格换行return *this;}template<class T1, class T2>inline CInBuff& operator>>(pair<T1, T2>& val) {*this >> val.first >> val.second;return *this;}template<class T1, class T2, class T3>inline CInBuff& operator>>(tuple<T1, T2, T3>& val) {*this >> get<0>(val) >> get<1>(val) >> get<2>(val);return *this;}template<class T1, class T2, class T3, class T4>inline CInBuff& operator>>(tuple<T1, T2, T3, T4>& val) {*this >> get<0>(val) >> get<1>(val) >> get<2>(val) >> get<3>(val);return *this;}template<class T = int>inline CInBuff& operator>>(vector<T>& val) {int n;*this >> n;val.resize(n);for (int i = 0; i < n; i++) {*this >> val[i];}return *this;}template<class T = int>vector<T> Read(int n) {vector<T> ret(n);for (int i = 0; i < n; i++) {*this >> ret[i];}return ret;}template<class T = int>vector<T> Read() {vector<T> ret;*this >> ret;return ret;}
private:inline void FileToBuf() {const int canRead = m_iWritePos - (S - buffer);if (canRead >= 100) { return; }if (m_bFinish) { return; }for (int i = 0; i < canRead; i++){buffer[i] = S[i];//memcpy出错			}m_iWritePos = canRead;buffer[m_iWritePos] = 0;S = buffer;int readCnt = fread(buffer + m_iWritePos, 1, N - m_iWritePos, stdin);if (readCnt <= 0) { m_bFinish = true; return; }m_iWritePos += readCnt;buffer[m_iWritePos] = 0;S = buffer;}int m_iWritePos = 0; bool m_bFinish = false;char buffer[N + 10], * S = buffer;
};class CDGTopSort
{
public:template <class T = vector<int> >CDGTopSort(const vector<T>& vNeiBo) :m_vDeg(vNeiBo.size()), m_neiBo(vNeiBo) {const int N = vNeiBo.size();m_backNeiBo.resize(N);for (int cur = 0; cur < N; cur++){m_vDeg[cur] = vNeiBo[cur].size();for (const auto& next : vNeiBo[cur]){m_backNeiBo[next].emplace_back(cur);}}}void Init() {auto Add = [&](int i) {if (0 != m_vDeg[i]) { return; }m_que.emplace(i);};for (int i = 0; i < m_vDeg.size(); i++){Add(i);}while (m_que.size()){const int cur = m_que.front(); m_que.pop();if (!OnDo(cur)) { continue; }for (const auto& next : m_backNeiBo[cur]){m_vDeg[next]--;Add(next);}};}queue<int> m_que;vector<int> m_vDeg;vector<int> m_vSort;
protected:const vector<vector<int>>& m_neiBo;vector<vector<int>> m_backNeiBo;virtual bool OnDo(int cur) {m_vSort.emplace_back(cur);return true;};
};class CNeiBo
{
public:static vector<vector<int>> Two(int n, const vector<pair<int, int>>& edges, bool bDirect, int iBase = 0){vector<vector<int>>  vNeiBo(n);for (const auto& [i1, i2] : edges){vNeiBo[i1 - iBase].emplace_back(i2 - iBase);if (!bDirect){vNeiBo[i2 - iBase].emplace_back(i1 - iBase);}}return vNeiBo;}static vector<vector<int>> Two(int n, const vector<vector<int>>& edges, bool bDirect, int iBase = 0){vector<vector<int>>  vNeiBo(n);for (const auto& v : edges){vNeiBo[v[0] - iBase].emplace_back(v[1] - iBase);if (!bDirect){vNeiBo[v[1] - iBase].emplace_back(v[0] - iBase);}}return vNeiBo;}static vector<vector<std::pair<int, int>>> Three(int n, vector<vector<int>>& edges, bool bDirect, int iBase = 0){vector<vector<std::pair<int, int>>> vNeiBo(n);for (const auto& v : edges){vNeiBo[v[0] - iBase].emplace_back(v[1] - iBase, v[2]);if (!bDirect){vNeiBo[v[1] - iBase].emplace_back(v[0] - iBase, v[2]);}}return vNeiBo;}static vector<vector<std::pair<int, int>>> Three(int n, const vector<tuple<int, int, int>>& edges, bool bDirect, int iBase = 0){vector<vector<std::pair<int, int>>> vNeiBo(n);for (const auto& [u, v, w] : edges){vNeiBo[u - iBase].emplace_back(v - iBase, w);if (!bDirect){vNeiBo[v - iBase].emplace_back(u - iBase, w);}}return vNeiBo;}static vector<vector<int>> Mat(vector<vector<int>>& neiBoMat){vector<vector<int>> neiBo(neiBoMat.size());for (int i = 0; i < neiBoMat.size(); i++){for (int j = i + 1; j < neiBoMat.size(); j++){if (neiBoMat[i][j]){neiBo[i].emplace_back(j);neiBo[j].emplace_back(i);}}}return neiBo;}
};class CSCCTarjan {
public:CSCCTarjan(vector<vector<int>>& neiBo) :m_neiBo(neiBo) {const int N = neiBo.size();m_vTime.assign(N, -1);m_vBack.assign(N, -1);m_vIsStack.assign(N, false);for (int i = 0; i < N; i++) {DFS(i);}}void InitPtNew() {m_ptNew.resize(m_neiBo.size());iota(m_ptNew.begin(), m_ptNew.end(), 0);for (auto& v : m_sccs) {nth_element(v.begin(), v.begin(), v.end());m_v0.emplace_back(v[0]);for (int i = 1; i < v.size(); i++) {m_ptNew[v[i]] = v[0];}}}vector<vector<int>> GetNewNeiBo() {vector<vector<int>> neiBo(m_neiBo.size());for (int i = 0; i < neiBo.size(); i++) {const int n1 = m_ptNew[i];for (const auto& next : m_neiBo[i]) {const int n2 = m_ptNew[next];if (n1 == n2) { continue; }//自环neiBo[n1].emplace_back(n2);}}for (int i = 0; i < neiBo.size(); i++) {unordered_set<int> s(neiBo[i].begin(), neiBo[i].end());vector<int> tmp(s.begin(), s.end());neiBo[i].swap(tmp);}return neiBo;}vector<vector<int>> m_sccs;vector<int> m_v0, m_ptNew;
protected:void DFS(int cur) {if (-1 != m_vTime[cur]) { return; }m_vTime[cur] = m_vBack[cur] = m_iTimes++;m_vIsStack[cur] = true;m_sta.emplace(cur);for (const auto& next : m_neiBo[cur]) {if (-1 == m_vTime[next]) {DFS(next);m_vBack[cur] = min(m_vBack[cur], m_vBack[next]);}else if (m_vIsStack[next]) {m_vBack[cur] = min(m_vBack[cur], m_vTime[next]);}}if (m_vTime[cur] != m_vBack[cur]) { return; }vector<int> scc;while (m_sta.size()){auto u = m_sta.top(); m_sta.pop();scc.emplace_back(u);m_vIsStack[u] = false;if (cur == u) { break; }}m_sccs.emplace_back(scc);}vector<vector<int>>& m_neiBo;int  m_iTimes = 0;vector<int> m_vTime, m_vBack;vector<bool> m_vIsStack;stack<int> m_sta;
};
class Solution {
public:int Ans(const int N, vector<pair<int, int>>& edge) {for (auto& [u, v] : edge) { u--, v--; }auto neiBo = CNeiBo::Two(N, edge, true, 0);CSCCTarjan scc(neiBo);scc.InitPtNew();m_ringSize.assign(N, 0);for (int i = 0; i < N; i++) {m_ringSize[scc.m_ptNew[i]]++;}auto neiBo1 = scc.GetNewNeiBo();vector<vector<int>> neiBo2(N);for (int i = 0; i < N; i++) {for (const auto& j : neiBo1[i]) {neiBo2[j].emplace_back(i);}}assert(0 == scc.m_ptNew[0]);auto dis1 = More(N, neiBo1);auto dis2 = More(N, neiBo2);int ans = dis1[0];for (int u = 0; u < N; u++) {for (const auto& v : neiBo1[u]) {if ((0 == dis1[v]) || (0 == dis2[u])) { continue; }if ((0 == scc.m_ptNew[u]) && (0 == scc.m_ptNew[v])) { continue; }ans = max(ans, dis1[v] + dis2[u] - m_ringSize[0]);}}return ans;}vector<int> More(const int N, vector<vector<int>>& neiBo) {vector<int> ret(N);ret[0] = m_ringSize[0];CDGTopSort topSort(neiBo);topSort.Init();for (auto it = topSort.m_vSort.rbegin(); it != topSort.m_vSort.rend(); ++it) {if (0 == ret[*it]) { continue; }for (const auto& child : neiBo[*it]) {ret[child] = max(ret[child], ret[*it] + m_ringSize[child]);}}return ret;}vector<int> m_ringSize;
};
int main() {
#ifdef _DEBUGfreopen("a.in", "r", stdin);
#endif // DEBUGios::sync_with_stdio(0); cin.tie(nullptr); cout.tie(nullptr);	int N;cin >> N ;auto edge = Read<pair<int,int>>();
#ifdef _DEBUGprintf("N=%d",N);Out(edge, ",edge=");//Out(que, ",que=");
#endif // DEBUGauto res = Solution().Ans(N, edge);cout << res;return 0;
}

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