算法238. 除自身以外数组的乘积

🧩 题目描述

给你一个整数数组 nums，返回 数组 answer ，其中 answer[i] 等于 nums 中除 nums[i] 之外其余各元素的乘积 。
题目数据 保证 数组 nums之中任意元素的全部前缀元素和后缀的乘积都在 32 位 整数范围内。
请 不要使用除法，且在 O(n) 时间复杂度内完成此题。
示例 1:
输入: nums = [1,2,3,4]
输出: [24,12,8,6]
示例 2:
输入: nums = [-1,1,0,-3,3]
输出: [0,0,9,0,0]

进阶：你可以在 O(1) 的额外空间复杂度内完成这个题目吗？（ 出于对空间复杂度分析的目的，输出数组 不被视为 额外空间。）

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✅ 解法：前后缀分解（Prefix and Suffix Product）

🔑 核心思想

将每个位置 i 的答案拆分为两部分：

• i 左边所有元素的乘积 → pre[i]
• i 右边所有元素的乘积 → suf[i]

则：
$$\text{answer}[i]=\text{pre}[i]\times \text{suf}[i]$$

这称为「前后缀分解」技巧，是处理“除自身外乘积”类问题的标准方法。

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🧱 算法步骤

1. 构造前缀乘积数组 pre

   • pre[i] 表示 nums[0] × nums[1] × ... × nums[i-1]
   • 即：从左到右，不包含 nums[i] 的乘积
   • 初始值：pre[0] = 1（空乘积定义为 1）

2. 构造后缀乘积数组 suf

   • suf[i] 表示 nums[i+1] × nums[i+2] × ... × nums[n-1]
   • 即：从右到左，不包含 nums[i] 的乘积
   • 初始值：suf[n-1] = 1

3. 合并结果

   • answer[i] = pre[i] * suf[i]

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💻 代码实现

class Solution:def productExceptSelf(self, nums: List[int]) -> List[int]:n = len(nums)# Step 1: 构造前缀乘积 pre[i] = nums[0] * ... * nums[i-1]pre = [1]  # pre[0] = 1（左边没有元素）for i in range(1, n):pre.append(pre[i-1] * nums[i-1])# Step 2: 构造后缀乘积 suf[i] = nums[i+1] * ... * nums[n-1]suf = [1] * n  # 初始化 suf 数组# 从右往左计算for i in range(n-2, -1, -1):suf[i] = suf[i+1] * nums[i+1]# Step 3: 合并前后缀return [p * s for p, s in zip(pre, suf)]

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📊 示例演示

nums = [1, 2, 3, 4]

i	nums[i]	pre[i]（左边乘积）	suf[i]（右边乘积）	answer[i] = pre[i] × suf[i]
0	1	1	2×3×4 = 24	1 × 24 = 24
1	2	1	3×4 = 12	1 × 12 = 12
2	3	1×2 = 2	4	2 × 4 = 8
3	4	1×2×3 = 6	1	6 × 1 = 6

✅ 输出：[24, 12, 8, 6]

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📌 关键细节说明

1. 为什么 pre[0] = 1？

• 表示 nums[0] 左边没有元素，空乘积定义为 1（乘法单位元）
• 类似地，suf[n-1] = 1

2. 递推公式

• pre[i] = pre[i-1] * nums[i-1]
• suf[i] = suf[i+1] * nums[i+1]

3. 为什么不能用除法？

• 题目明确禁止
• 而且如果 nums 中有 0，除法会出错或需要特殊处理

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⚡ 进阶优化：空间复杂度 O(1)（不计输出数组）

可以将 pre 直接作为答案数组，再用一个变量从右往左累乘后缀：

class Solution:def productExceptSelf(self, nums: List[int]) -> List[int]:n = len(nums)answer = [1] * n# Step 1: answer[i] 先存 pre[i]for i in range(1, n):answer[i] = answer[i-1] * nums[i-1]# Step 2: 用 right 表示后缀乘积，从右往左更新 answerright = 1for i in range(n-1, -1, -1):answer[i] *= rightright *= nums[i]return answer

• ✅ 时间复杂度：O(n)
• ✅ 空间复杂度：O(1)（不计输出数组）

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🧠 方法本质：分治思想

把“整体乘积除以自身”转化为：

• 左边乘积 × 右边乘积

避免了对每个位置重新计算，实现高效递推。

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✅ 总结

技巧	说明
前后缀分解	将复杂问题拆解为左右两部分独立计算
空乘积为 1	保证递推边界正确
避免除法	更通用，适用于含 0 的情况
可空间优化	用输出数组或单变量替代额外空间

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📌 一句话记住：
“左积 × 右积 = 除自身外的总积”
—— 掌握前后缀分解，轻松应对“除自身外乘积”类问题！

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