权值树状数组

权值树状数组

权值数组研究的是数组的 值域 问题，经常应用于不重视数组的 元素顺序，更注重 元素内容 的场景。

单点修改，查询全局第 $k$ 小

现在需要对一个数组进行两种操作

1. pos x 表示将 $a[pos]$ 的权值改成 $x$。
2. k 查询数组的全局第 $k$ 小元素是谁。

如果 $a$ 数组的 值域 以及每次 修改范围 不大，就可以用 $cnt[i]$ 表示权值为 $i$ 的数的 出现次数。

题目要求的是全局第 $k$ 小元素，可以使用 二分 $cnt$ 前缀和 的方式来完成。

所以需要动态维护 $cnt$ 数组的前缀和，此时就可以用树状数组来维护。

初始时，创建一个 大小为值域 的数组 $tree[i]$，维护以 $[i-lowbit(i)+1,i]$ 的区间信息。

然后进行 $n$ 次 单点修改 将 $a$ 的信息更新完，每次单点修改就是令 $tree[a[pos]]$ 及其所有祖先加 $1$。

对于操作 $1$，等价为 $tree[a[pos]]$ 及其所有祖先减 $1$， $tree[x]$ 及其所有祖先加 $1$。

对于操作 $2$，二分前缀和，但是每次求前缀和是 $O(logn)$，故总时间是 $O(lo{g}^{2}n)$。

二分前缀和是求出一个正整数 $x$ 满足 $x$ 的前缀和小于 $k$ 且 $x+1$ 的前缀和大于等于 $k$ 。

此时 $x+1$ 就是全局第 $k$ 小。

其实可以利用 树状数组的特性 来实现操作 $2$。

已知 $tree[i]$ 维护的是以 $i$ 结尾长度为 $lowbit(i)$ 的区间信息，当 $i$ 是 $2$ 的幂的时候，维护的就是前缀和信息。

此时这个前缀和信息可以 $O(1)$ 获得。

设初始状态 $x=0$，$sum=0$，其中 $x$ 表示第 $k$ 小的数应该大于的数，$sum$ 表示当前前缀和的值。

于是可以从最高的二进制位 $log(n)$ 开始检查，对于当前二进制位 $j$ 而言：

1. $sum+tree[x+2^j]\ge k$，说明我们要找的数比 $x+2^j$ 小。
2. $sum+tree[x+2^j]<k$，说明我们要找的数比 $x+2^j$ 大，所以 $x:=2^j,sum:=tree[x+2^j]$。

最终找到的 $x+1$ 就是全局第 $k$ 小的元素。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
//#pragma GCC optimize(2)
#define int long long
#define endl '\n'
#define PII pair<int,int>
#define INF 1e18template<typename T>// 单点修改和区间查询的树状数组
struct Fenwick {vector <T> tree;int n;Fenwick(int _n) : n(_n), tree(_n + 2){}// 求 1~x 的前缀和T getsum(int x) {T ans = 0;int L = x;while (x) {ans += tree[x];x = x - lowbit(x);}return ans;}// 区间查询T get_range_sum(int l, int r) {return getsum(r) - getsum(l - 1);}// 单点修改，是为了 range_add 服务void add(int x, T k) {while (x <= n) {tree[x] += k;x += lowbit(x);}}static inline int lowbit(int x) {return x & (-x);}T getKth(int k) {T x = 0, sum = 0;for (int i = log2(n); i >= 0; i--) {x += (1ll << i);if (x >= n || sum + tree[x] >= k) {x -= (1ll << i);} else {sum += tree[x];}               }return x + 1;}
};
void slove () {Fenwick<int> tree(n);
}signed main () {ios::sync_with_stdio(0),cin.tie(0),cout.tie(0);slove();
}