【分析学】内积空间中的线性算子

内积空间中的线性算子

定义

设 $\mathcal{X}$ 和 $\mathcal{Y}$ 是两个内积空间（实或复），一个映射 $T:\mathcal{X}\to \mathcal{Y}$ 称为线性算子，若满足：

• 可加性：$T(x_1+x_2)=T(x_1)+T(x_2),\forall x_1,x_2\in \mathcal{X}.$
• 齐次性：$T(\alpha x)=\alpha T(x),\forall \alpha \in \mathbb{K}\text{（}\mathbb{R}\text{或}\mathbb{C}\text{）},\forall x\in \mathcal{X}.$

有界线性算子

线性算子 $T$ 称为有界的，若存在常数 $M\ge 0$ 使得：$\Vert T(x){\Vert }_{\mathcal{Y}}\le M\Vert x{\Vert }_{\mathcal{X}},\forall x\in \mathcal{X}.$

• 算子范数： $\Vert T\Vert ={\sup }_{\Vert x{\Vert }_{\mathcal{X}}=1}\Vert T(x){\Vert }_{\mathcal{Y}}={\sup }_{x\ne 0}\frac{\Vert T(x){\Vert }_{\mathcal{Y}}}{\Vert x{\Vert }_{\mathcal{X}}}.$
• 等价刻画： $T$ 有界 $⟺$ $T$ 连续 $⟺$ $T$ 将有界集映射为有界集。

连续性与有界性等价

定理：在内积空间中，线性算子 $T$ 连续当且仅当 $T$ 有界。

恒等算子

• 定义（Hilbert空间中）：
  设 $\mathcal{H},\mathcal{K}$ 为 Hilbert 空间，$T(x)=x,\forall x\in \mathcal{H}$

• 例：

  1. 单位矩阵 $Ex=x$
  2. $L^2[a,b]$ 恒等积分算子 $T(x)={\int }_a^b\delta (t-s)x(s)ds$. 其中 $\delta$ 是狄拉克函数。
     $$\delta (x)=\{\begin{array}{ll}0& x\ne 0,\\ +\infty & x=0.\end{array}$$ 并且 ${\int }_{-\infty }^{\infty }\delta (x)dx=1$.

伴随算子（Adjoint Operator）

• 定义（Hilbert空间中）：
  设 $\mathcal{H},\mathcal{K}$ 为 Hilbert 空间，$T:\mathcal{H}\to \mathcal{K}$ 有界线性算子。存在唯一算子 $T^{\ast }:\mathcal{K}\to \mathcal{H}$ 满足：
  $$⟨Tx,y{⟩}_{\mathcal{K}}=⟨x,T^{\ast }y{⟩}_{\mathcal{H}},\forall x\in \mathcal{H},\forall y\in \mathcal{K}.$$

• 性质：

  • $(T^{\ast }{)}^{\ast }=T$，
  • $\Vert T^{\ast }\Vert =\Vert T\Vert$，
  • $(S+T{)}^{\ast }=S^{\ast }+T^{\ast }$，
  • $(\alpha T{)}^{\ast }=\bar{\alpha }{T}^{\ast }$（复空间），
  • $(TS{)}^{\ast }=S^{\ast }{T}^{\ast }$（复合时）。

• 例：

  1. 方阵 $A\in M^n(\mathbb{C})$， 共轭转置 $A^{\mathsf{H}}$。 $A\in M^n(\mathbb{R})$， 转置 $A^{\top }$。
  2. 一般矩阵 $A\in {\mathbb{C}}^{m\times n}$， 共轭转置 $A^{\mathsf{H}}\in {\mathbb{C}}^{n\times m}$。 $A\in {\mathbb{R}}^{m\times n}$， 转置 $A^{\top }\in {\mathbb{R}}^{n\times m}$。
  3. 有界算子 $T:L^2[a,b]\to L^2[a,b]$, 如果有表示 $T(x)={\int }_a^{b}K(s,t)x(t)dt$, 则根据 Fubini-Tonelli 定理
     $$\begin{array}{rl}& ⟨Tx,y⟩\\ =& ⟨{\int }_{a,b}K(s,t)x(t)dt,y(s)⟩\\ =& {\int }_a^b\left({\int }_a^{b}K(s,t)x(t)dt\right)y(s)ds\\ =& {\int }_a^b\left({\int }_a^{b}K(s,t)y(s)ds\right)x(t)dt\\ =⟨x,T^{\ast }y⟩& \end{array}$$
     因此 $T$ 的共轭算子具有表示： $T^{\ast }(y)={\int }_a^{b}K(s,t)y(s)ds$.

自伴算子（Self-Adjoint Operator）

• 定义：若 $T:\mathcal{H}\to \mathcal{H}$ 满足 $T^{\ast }=T$，则称 $T$ 为自伴算子； 若 $T:\mathcal{H}\to \mathcal{H}$ 满足 $T^{\ast }=-T$，则称 $T$ 为斜伴算子。

• 性质：

  • 特征值为实数（复空间），
  • 不同特征值对应的特征向量正交，
  • 谱定理：存在标准正交基使 $T$ 对角化（紧自伴算子）。

• 有限维例子

复矩阵	算子
Hermit 矩阵	自伴算子
Skew-Hermit 矩阵	斜伴算子

如果 $T$ 可以用 $K:\mathcal{H}\times \mathcal{H}$ 表示

实矩阵	算子
对称矩阵 $A^{\top }=A$	自伴算子 $K(s,t)=K(t,s)$
反对称矩阵$A^{\top }=-A$	斜伴算子$K(s,t)=-K(t,s)$

酉算子（Unitary Operator）

• 定义：若 $T:\mathcal{H}\to \mathcal{H}$ 满足 $T^{\ast }T=T{T}^{\ast }=I$（恒等算子），则称 $T$ 为酉算子； 如果 $\mathcal{H}$ 是实内积空间，则 $T$ 也称为正交算子。

• 性质：

  • 保内积：$⟨Tx,Ty⟩=⟨x,y⟩$，
  • 保范数：$\Vert Tx\Vert =\Vert x\Vert$，
  • 可逆且 $T^{-1}=T^{\ast }$。

• 有限维对应关系：

矩阵	算子
酉矩阵	酉算子
正交矩阵	正交算子

例

有限维向量空间
1. 旋转矩阵 $A=\left[\begin{array}{cc}\cos (\theta )& -\sin (\theta )\\ \sin (\theta )& \cos (\theta )\end{array}\right]$, $Ax$ 则为 $x$ 绕 原点顺时针 旋转角度 $\theta$。 $A^{\top }A=I$
2. 镜像矩阵 $B=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right]$, $Bx$ 则为 $x$ 关于 $y=x$ 的镜像。
函数空间 $L^2(\mathbb{C})$,
$L^2(\mathbb{R})$
1. 左右平移变换 $T(f)=f(x-a)$, 则 $$⟨Tf,Tg⟩={\int }_{\mathbb{R}}f(x-a)g(x-a)dx={\int }_{\mathbb{R}}f(x)g(x)dx=⟨f,g⟩$$
2. Hartley 变换 $T(f)={\int }_{\mathbb{R}}f(t)(\cos (2\pi \nu t)+\sin (2\pi \nu t))dt$ 是正交变换

$$\begin{array}{rl}& ⟨Tf,Tg⟩\\ =& \frac{1}{2\pi }{\int }_{\mathbb{R}}\left({\int }_{\mathbb{R}}f(t)(\cos (2\pi \nu t)+\sin (2\pi \nu t))dt{\int }_{\mathbb{R}}g(s)(\cos (2\pi \nu s)+\sin (2\pi \nu s))ds\right)d\nu \\ =& \frac{1}{2\pi }{\int }_{\mathbb{R}}{\int }_{\mathbb{R}}f(t)g(s)\left({\int }_{\mathbb{R}}(\cos (2\pi \nu t)+\sin (2\pi \nu t))(\cos (2\pi \nu s)+\sin (2\pi \nu s)d\nu \right)dsdt\end{array}$$
令 $I(t,s)={\int }_{\mathbb{R}}(\cos (2\pi \nu t)+\sin (2\pi \nu t))(\cos (2\pi \nu s)+\sin (2\pi \nu s))d\mu$ ,
利用三角恒等式：
$$\cos A\cos B=\frac{1}{2}\left[\cos (A-B)+\cos (A+B)\right],\sin A\sin B=\frac{1}{2}\left[\cos (A-B)-\cos (A+B)\right],$$
$$\cos A\sin B=\frac{1}{2}\left[\sin (A+B)-\sin (A-B)\right],\sin A\cos B=\frac{1}{2}\left[\sin (A+B)+\sin (A-B)\right].$$
合并同类项：
$$\cos (\omega (t-s))+\sin (\omega (t+s)).$$
因此：
$$I(t,s)={\int }_{-\infty }^{\infty }\left[\cos (\omega (t-s))+\sin (\omega (t+s))\right]d\omega .$$

• ${\int }_{-\infty }^{\infty }\cos (\omega \tau )d\omega =2\pi \delta (\tau )$（Dirac delta 函数），
• ${\int }_{-\infty }^{\infty }\sin (\omega \tau )d\omega =0$（奇函数积分）。
  代入 $\tau =t-s$ 和 $\tau =t+s$：$I(t,s)=2\pi \delta (t-s)+0=2\pi \delta (t-s).$
  $$⟨T(f),T(g)⟩=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }{\int }_{-\infty }^{\infty }f(t)g(s)\cdot 2\pi \delta (t-s)dtds={\int }_{-\infty }^{\infty }{\int }_{-\infty }^{\infty }f(t)g(s)\delta (t-s)dtds.$$
  利用 Dirac 函数的筛选性质：${\int }_{-\infty }^{\infty }g(s)\delta (t-s)ds=g(t)$.
  得：$⟨T(f),T(g)⟩={\int }_{-\infty }^{\infty }f(t)g(t)dt=⟨f,g⟩.$

子空间投影算子（Projection Operator）

• 定义：若 $T:\mathcal{H}\to \mathcal{H}$ 满足 $T^2=T$ 且 $T^{\ast }=T$，则称 $T$ 为正交投影算子。
• 性质：
  • 投影到闭子空间 $\mathcal{M}\subseteq \mathcal{H}$，
  • $\Vert T\Vert =1$（若 M≠{0}\mathcal{M} \neq \{0\}M={0}），
  • $\text{Range}(T)=\mathcal{M}$，$\text{Ker}(T)={\mathcal{M}}^{\perp }$。
  • 由于幂等性，投影算子的只有0或1。

紧算子（Compact Operator）

• 定义：若 $T:\mathcal{H}\to \mathcal{K}$ 将有界集映射为相对紧集（即序列像有收敛子列），则称 $T$ 为紧算子。
• 性质：
  • 有限秩算子（值域有限维）是紧的，
  • 紧算子列的极限是紧的，
  • 谱定理：紧自伴算子有可数个特征值，唯一聚点为 $0$。

有限维空间中， 紧算子是一个平凡概念， $\forall A\in {\mathbb{R}}^{m\times n}$, 则 $T(x)=Ax$ 都是紧算子。

正算子（Positive Operator）

• 定义：自伴算子 $T:\mathcal{H}\to \mathcal{H}$ 称为正算子（记 $T\ge 0$），若：
  $$⟨Tx,x⟩\ge 0,\forall x\in \mathcal{H}.$$
  如果 $\forall 0\ne x\in \mathcal{H}$, $⟨Tx,x⟩>0$, 称 $T$ 为严格正算子。
• 性质：
  • 存在唯一正算子 $S$ 使得 $S^2=T$（平方根），
  • 若 $T\ge S\ge 0$，则 $\Vert T\Vert \ge \Vert S\Vert$。
• 有限维例：$A\in M^n(\mathbb{R})$， 有如下对应关系

矩阵	算子
半正定矩阵	正算子
正定矩阵	严格正算子

• 秩一算子 $L^2(\mathbb{R})$, 如果 $K(s,t)=\mu (s)\mu (t)$， 则 $T(f)={\int }_{\mathbb{R}}K(t,s)f(s)ds$ 是正算子，

$$⟨T(f),f⟩={\int }_{\mathbb{R}}\left({\int }_{\mathbb{R}}\mu (t)\mu (s)f(s)ds\right)f(t)dt={\left({\int }_{\mathbb{R}}\mu (t)f(t)dt\right)}^2\ge 0.$$

• 多秩算子： 如果 $a$ 元素都是非负的， $K(s,t)={\sum }_{i=1}^N{a}_i{\mu }_i(s){\mu }_i(t)$， 则 $T(f)={\int }_{\mathbb{R}}K(t,s)f(s)ds$ 是正算子，

• 双线性组合： 如果 $A$ 是半正定矩阵， $K(s,t)={\sum }_{i=1}^N{\sum }_{j=1}^N{A}_{i,j}{\mu }_i(s){\mu }_j(t)$， 则 $T(f)={\int }_{\mathbb{R}}K(t,s)f(s)ds$ 是正算子，

卷积算子

$(Tx)(u)={\int }_{\mathbb{R}}x(t)p(u-t)dt:=x\ast p$, 令 $q(u)=p(-u)$.

$\begin{array}{rl}& ⟨Tx,y⟩\\ =& ⟨{\int }_{\mathbb{R}}x(t)p(u-t)dt,y(u)⟩\\ =& {\int }_{\mathbb{R}}(y(u){\int }_{\mathbb{R}}x(t)p(u-t)dt)du\\ =& {\int }_{\mathbb{R}}x(t){\int }_{\mathbb{R}}q(t-u)y(u)du)dt\\ =& ⟨x,y\ast q⟩\end{array}$
因此 $T$ 的伴随算子 $T^{\ast }(y)={\int }_{\mathbb{R}}q(t-u)y(u)du$.