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37.字典树

news 2025/8/6 11:18:15

一、简介

字典树，英文名为 Trie，又称单词查找树，它是一种特殊的数据结构，用于处理字符串的一种树形结构。顾名思义，字典树在使用的时候类似于在字典中查单词，从第一个字符开始遍历，在 Trie 中按层往下查找，查找效率可以达到 $O (n)$ ， $n$ 为查找字符串的长度。

Trie 的功能非常强大，可以支持对于字符串的各种操作，包括插入、删除、修改和查询操作。Trie一边用来处理字符串的快速检索，字符串的快速排序与去重，文本的词频统计等问题。Trie 的构建利用字符串的公共前缀，逐层建立起一棵多叉树。下图是一个基础的例子：

在这里插入图片描述

从这张图中我们不难看出 Trie 具有以下特点：

Trie 的根结点上不存储字符，其余结点上存且只存一个字符。
从根结点出发，到某一结点上经过的字符，即是该结点对应的前缀。
每个结点的孩子结点存储的字符各不相同。
Trie 牺牲空间来换取时间，当数据量很大时，会占用很大空间。如果字符串均由小写字母组成，则每个结点最多会有 $26$ 个孩子结点，则最多会有 $26 n$ 个用于存储的结点， $n$ 为字符串的长度总和。

二、基本运用

任何一个良好的数据结构都应该满足增加、删除、修改和查询四大功能，下面我们从这些方面来讲解。我们假设题目的需求是：求出当前所查询的字符串是多少前面所给字符串的前缀。我们以此为基础来介绍字典树的基本构造方法，需要注意对于每道题目各种功能的实现也略有不同。

1.初始化

在一开始需要将 trie 数组初始化为 $- 1$ ，表示该节点从未使用过。
tot 变量用于表示整个字典树中存在多少节点。

void init()
{memset(trie, -1, sizeof(trie));memset(sum, 0, sizeof(sum));tot = 0;
}

2.插入

在插入字符串的时候，我们首先从字典树的根节点（编号为 $0$ ）开始。
遍历整个字符串，因为字典树以数组的方式存储，所以需要通过某种方式将符号对应到数字。这里假设所有字母都是小写，因此使用了 str[i]-'a' 的方式进行转换。
trie[p][ch] == -1 表示该节点还没有被创建过，所以新建节点 ++tot。
p = trie[p][ch] 表示为进入当前字符串前 $i$ 个字符的对应子节点。
sum[p]++ 用于记录以当前这样的前 $i$ 个字符为前缀的字符串有多少个

void insert(string str)
{ll len = str.size(), p = 0;for(ll i = 0; i < len; i++){ll ch = str[i] - 'a';if(trie[p][ch] == -1)trie[p][ch] = ++tot;p = trie[p][ch];sum[p]++;}
}

3.删除

因为 tot 的数量已经改变，所以最好不好直接删除节点
我们只需要将 sum[p] 的计数情况做一些修改即可

void erase(string str)
{ll len = str.size(), p = 0;for(ll i = 0; i < len; i++){ll ch = str[i] - 'a';if(trie[p][ch] == -1)return;p = trie[p][ch];sum[p]--;}
}

4.查询

根据字符串在字典树中的位置依次递推直到结尾，最后返回当前的计数情况即可。

ll search(string str)
{ll len = str.size(), p = 0;for(ll i = 0; i < len; i++){ll ch = str[i] - 'a';if(trie[p][ch] == -1)return 0;p = trie[p][ch];}return sum[p];
}