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2106. 摘水果

news 2025/11/15 5:11:29

2106. 摘水果

初始理解问题

首先，我们需要明确题目要求：

输入：
- fruits：一个列表，其中每个元素是一个包含两个整数的列表 [position, amount]，表示在位置 position 上有 amount 个水果。
- startPos：一个整数，表示起始位置。
- k：一个整数，表示最多可以移动的步数。
输出：
- 一个整数，表示在最多移动 k 步的情况下，能够收集到的最大水果数量。
移动规则：
- 每次可以向左或向右移动一步（即位置 +1 或 -1）。
- 移动的总步数不能超过 k。
- 可以收集经过的位置上的水果（假设收集水果不需要额外步数，或者是在移动过程中自动收集）。

解题思路

为了找到在最多 k 步内能收集到的最大水果数量，我们需要考虑所有可能的移动路径，这些路径的移动步数不超过 k，然后计算在这些路径上能收集到的水果总数。

直接枚举所有可能的路径显然不现实，因为步数可以很大。因此，我们需要一种更高效的方法。

关键观察

移动范围：
- 最远可以移动到 startPos - k 到 startPos + k 的位置。
- 但是，由于可以向左或向右移动，实际能到达的最远位置可能更受限制。
移动策略：
- 可以看作是在一个区间内移动，这个区间由 startPos 和 k 决定。
- 我们需要找到一个连续的区间 [L, R]，使得从 startPos 出发，移动到这个区间的最左或最右，然后可能来回移动，总步数不超过 k。
滑动窗口：
- 可以使用滑动窗口的方法来维护一个区间 [left, right]，表示当前考虑的水果位置区间。
- 通过调整 left 和 right 来确保移动步数不超过 k，并计算窗口内的水果总数。

具体步骤

预处理：
- 首先，将 fruits 按照位置排序（假设输入已经按位置排序，因为题目没有明确说明，但通常这类问题会保证输入有序）。
- 使用 bisect 模块来快速找到起始位置附近的水果。
初始窗口：
- left 是第一个位置 >= startPos - k 的水果的索引。
- right 是第一个位置 >= startPos + 1 的水果的索引（即位置 <= startPos 的最大索引 + 1）。
- 初始时，计算从 left 到 right - 1 的水果总数，即从 startPos - k 到 startPos 的水果数。
滑动窗口扩展：
- 然后，逐步向右扩展 right，即考虑更远的位置。
- 对于每个新的 right，将对应的水果数量加入当前总和 s。
- 然后，调整 left 以确保从 startPos 出发，移动到 fruits[right][0] 或 fruits[left][0] 的总步数不超过 k。
  - 移动步数的计算：
    - 从 startPos 移动到 fruits[right][0] 然后可能来回移动。
    - 两个主要的移动模式：
      1. 先向右到 fruits[right][0]，然后向左到 fruits[left][0] 再返回。
      2. 先向左到 fruits[left][0]，然后向右到 fruits[right][0] 再返回。
    - 具体步数计算：
      - （先右后左）从 startPos 到 fruits[right][0] 然后到 fruits[left][0] 的步数为 (fruits[right][0] - startPos) + (fruits[right][0] - fruits[left][0]) = 2 * fruits[right][0] - startPos - fruits[left][0]。
      - （先左后右）或者从 startPos 到 fruits[left][0] 然后到 fruits[right][0] 的步数为 (startPos - fruits[left][0]) + (fruits[right][0] - fruits[left][0]) = fruits[right][0] + startPos - 2 * fruits[left][0]。
    - 简化后的条件：
      - fruits[right][0] * 2 - fruits[left][0] - startPos > k 或 fruits[right][0] - fruits[left][0] * 2 + startPos > k。
  - 如果步数超过 k，则移动 left 向右，减少窗口内的水果数量。
更新最大值：
- 在每次调整 left 和 right 后，计算当前窗口内的水果总数 s，并更新最大值 ans。

代码解释

class Solution:def maxTotalFruits(self, fruits: List[List[int]], startPos: int, k: int) -> int:left = bisect_left(fruits, [startPos - k])  # 向左最远能到 fruits[left][0]right = bisect_left(fruits, [startPos + 1])  # 位置 <= startPos 的最大下标 + 1ans = s = sum(f[1] for f in fruits[left: right])  # 从 fruits[left][0] 到 startPos 的水果数# 枚举最右走到 fruits[right][0]while right < len(fruits) and fruits[right][0] <= startPos + k:s += fruits[right][1]while left < right and (fruits[right][0] * 2 - fruits[left][0] - startPos > k or fruits[right][0] - fruits[left][0] * 2 + startPos > k):s -= fruits[left][1]  # fruits[left][0] 太远了left += 1ans = max(ans, s)  # 更新答案最大值right += 1  # 继续枚举下一个最右位置return ans

初始 left 和 right 的确定：
- left = bisect_left(fruits, [startPos - k])：
  - 使用二分查找找到第一个位置 >= startPos - k 的水果的索引。这是向左最远可以到达的位置。
- right = bisect_left(fruits, [startPos + 1])：
  - 使用二分查找找到第一个位置 >= startPos + 1 的水果的索引。这相当于位置 <= startPos 的最大索引 + 1。
**初始水果总数 ans 和 s**：
- ans = s = sum(f[1] for f in fruits[left: right])：
  - 计算从 left 到 right - 1 的水果数量总和，即从 startPos - k 到 startPos 的水果数。这是初始窗口内的水果总数。
滑动窗口扩展：
- while right < len(fruits) and fruits[right][0] <= startPos + k:：
  - 只要 right 没有超出 fruits 的范围，并且当前 fruits[right][0] 不超过 startPos + k，就继续扩展。
- s += fruits[right][1]：
  - 将当前 right 位置的水果数量加入总和 s。
- **调整 left**：
  - while left < right and (条件)：
    - 当 left 没有超过 right，并且移动步数超过 k 时，移动 left 向右。
    - 条件：
      - fruits[right][0] * 2 - fruits[left][0] - startPos > k：
        表示从 startPos 到 fruits[right][0] 然后到 fruits[left][0] 的步数超过 k。
      - fruits[right][0] - fruits[left][0] * 2 + startPos > k：
        表示从 startPos 到 fruits[left][0] 然后到 fruits[right][0] 的步数超过 k。
    - 如果满足任一条件，则 s -= fruits[left][1] 并 left += 1，即减少窗口左边界的水果数量。
- 更新最大值：
  - ans = max(ans, s)：
    - 每次调整后，计算当前窗口内的水果总数 s，并更新最大值 ans。
- right += 1：
  - 继续向右扩展窗口。
返回结果：
- return ans：
  - 返回能够收集到的最大水果数量。

为什么这样有效

滑动窗口：通过维护一个窗口 [left, right]，确保窗口内的水果可以通过不超过 k 步的移动收集到。
步数计算：通过两个不等式确保从 startPos 出发，移动到窗口的最左或最右位置的总步数不超过 k。
高效性：利用二分查找快速定位初始窗口，并通过滑动窗口线性遍历可能的区间，保证了算法的高效性。

可能的疑问

**为什么 right 初始是 bisect_left(fruits, [startPos + 1])**：
- 这是为了找到位置 <= startPos 的最大索引 + 1。即 right 初始指向第一个位置 > startPos 的水果，因此 fruits[left: right] 包含位置 <= startPos 的水果。
步数计算的两个条件：
- 这两个条件分别对应两种移动策略：
  - 先向右到最远，然后向左。
  - 先向左到最远，然后向右。
- 通过这两个条件可以确保总步数不超过 k。