2106. 摘水果

2106. 摘水果

初始理解问题

首先，我们需要明确题目要求：

• ​输入​：

  • fruits：一个列表，其中每个元素是一个包含两个整数的列表 [position, amount]，表示在位置 position 上有 amount 个水果。
  • startPos：一个整数，表示起始位置。
  • k：一个整数，表示最多可以移动的步数。

• ​输出​：

  • 一个整数，表示在最多移动 k 步的情况下，能够收集到的最大水果数量。

• ​移动规则​：

  • 每次可以向左或向右移动一步（即位置 +1 或 -1）。
  • 移动的总步数不能超过 k。
  • 可以收集经过的位置上的水果（假设收集水果不需要额外步数，或者是在移动过程中自动收集）。

解题思路

为了找到在最多 k 步内能收集到的最大水果数量，我们需要考虑所有可能的移动路径，这些路径的移动步数不超过 k，然后计算在这些路径上能收集到的水果总数。

直接枚举所有可能的路径显然不现实，因为步数可以很大。因此，我们需要一种更高效的方法。

关键观察

1. ​移动范围​：

   • 最远可以移动到 startPos - k 到 startPos + k 的位置。
   • 但是，由于可以向左或向右移动，实际能到达的最远位置可能更受限制。

2. ​移动策略​：

   • 可以看作是在一个区间内移动，这个区间由 startPos 和 k 决定。
   • 我们需要找到一个连续的区间 [L, R]，使得从 startPos 出发，移动到这个区间的最左或最右，然后可能来回移动，总步数不超过 k。

3. ​滑动窗口​：

   • 可以使用滑动窗口的方法来维护一个区间 [left, right]，表示当前考虑的水果位置区间。
   • 通过调整 left 和 right 来确保移动步数不超过 k，并计算窗口内的水果总数。

具体步骤

1. ​预处理​：

   • 首先，将 fruits 按照位置排序（假设输入已经按位置排序，因为题目没有明确说明，但通常这类问题会保证输入有序）。
   • 使用 bisect 模块来快速找到起始位置附近的水果。

2. ​初始窗口​：

   • left 是第一个位置 >= startPos - k 的水果的索引。
   • right 是第一个位置 >= startPos + 1 的水果的索引（即位置 <= startPos 的最大索引 + 1）。
   • 初始时，计算从 left 到 right - 1 的水果总数，即从 startPos - k 到 startPos 的水果数。

3. ​滑动窗口扩展​：

   • 然后，逐步向右扩展 right，即考虑更远的位置。
   • 对于每个新的 right，将对应的水果数量加入当前总和 s。
   • 然后，调整 left 以确保从 startPos 出发，移动到 fruits[right][0] 或 fruits[left][0] 的总步数不超过 k。
     • 移动步数的计算：
       • 从 startPos 移动到 fruits[right][0] 然后可能来回移动。
       • 两个主要的移动模式：
         1. 先向右到 fruits[right][0]，然后向左到 fruits[left][0] 再返回。
         2. 先向左到 fruits[left][0]，然后向右到 fruits[right][0] 再返回。
       • 具体步数计算：
         • （先右后左）从 startPos 到 fruits[right][0] 然后到 fruits[left][0] 的步数为 (fruits[right][0] - startPos) + (fruits[right][0] - fruits[left][0]) = 2 * fruits[right][0] - startPos - fruits[left][0]。
         • （先左后右）或者从 startPos 到 fruits[left][0] 然后到 fruits[right][0] 的步数为 (startPos - fruits[left][0]) + (fruits[right][0] - fruits[left][0]) = fruits[right][0] + startPos - 2 * fruits[left][0]。
       • 简化后的条件：
         • fruits[right][0] * 2 - fruits[left][0] - startPos > k 或 fruits[right][0] - fruits[left][0] * 2 + startPos > k。
     • 如果步数超过 k，则移动 left 向右，减少窗口内的水果数量。

4. ​更新最大值​：

   • 在每次调整 left 和 right 后，计算当前窗口内的水果总数 s，并更新最大值 ans。

代码解释

class Solution:def maxTotalFruits(self, fruits: List[List[int]], startPos: int, k: int) -> int:left = bisect_left(fruits, [startPos - k])  # 向左最远能到 fruits[left][0]right = bisect_left(fruits, [startPos + 1])  # 位置 <= startPos 的最大下标 + 1ans = s = sum(f[1] for f in fruits[left: right])  # 从 fruits[left][0] 到 startPos 的水果数# 枚举最右走到 fruits[right][0]while right < len(fruits) and fruits[right][0] <= startPos + k:s += fruits[right][1]while left < right and (fruits[right][0] * 2 - fruits[left][0] - startPos > k or fruits[right][0] - fruits[left][0] * 2 + startPos > k):s -= fruits[left][1]  # fruits[left][0] 太远了left += 1ans = max(ans, s)  # 更新答案最大值right += 1  # 继续枚举下一个最右位置return ans

1. ​初始 left 和 right 的确定​：

   • left = bisect_left(fruits, [startPos - k])：
     • 使用二分查找找到第一个位置 >= startPos - k 的水果的索引。这是向左最远可以到达的位置。
   • right = bisect_left(fruits, [startPos + 1])：
     • 使用二分查找找到第一个位置 >= startPos + 1 的水果的索引。这相当于位置 <= startPos 的最大索引 + 1。

2. ​**初始水果总数 ans 和 s**​：

   • ans = s = sum(f[1] for f in fruits[left: right])：
     • 计算从 left 到 right - 1 的水果数量总和，即从 startPos - k 到 startPos 的水果数。这是初始窗口内的水果总数。

3. ​滑动窗口扩展​：

   • while right < len(fruits) and fruits[right][0] <= startPos + k:：
     • 只要 right 没有超出 fruits 的范围，并且当前 fruits[right][0] 不超过 startPos + k，就继续扩展。
   • s += fruits[right][1]：
     • 将当前 right 位置的水果数量加入总和 s。
   • ​**调整 left**​：
     • while left < right and (条件)：
       • 当 left 没有超过 right，并且移动步数超过 k 时，移动 left 向右。
       • 条件：
         • fruits[right][0] * 2 - fruits[left][0] - startPos > k：
           • 表示从 startPos 到 fruits[right][0] 然后到 fruits[left][0] 的步数超过 k。
         • fruits[right][0] - fruits[left][0] * 2 + startPos > k：
           • 表示从 startPos 到 fruits[left][0] 然后到 fruits[right][0] 的步数超过 k。
       • 如果满足任一条件，则 s -= fruits[left][1] 并 left += 1，即减少窗口左边界的水果数量。
   • ​更新最大值​：
     • ans = max(ans, s)：
       • 每次调整后，计算当前窗口内的水果总数 s，并更新最大值 ans。
   • right += 1：
     • 继续向右扩展窗口。

4. ​返回结果​：

   • return ans：
     • 返回能够收集到的最大水果数量。

为什么这样有效

• ​滑动窗口​：通过维护一个窗口 [left, right]，确保窗口内的水果可以通过不超过 k 步的移动收集到。
• ​步数计算​：通过两个不等式确保从 startPos 出发，移动到窗口的最左或最右位置的总步数不超过 k。
• ​高效性​：利用二分查找快速定位初始窗口，并通过滑动窗口线性遍历可能的区间，保证了算法的高效性。

可能的疑问

1. ​**为什么 right 初始是 bisect_left(fruits, [startPos + 1])**​：

   • 这是为了找到位置 <= startPos 的最大索引 + 1。即 right 初始指向第一个位置 > startPos 的水果，因此 fruits[left: right] 包含位置 <= startPos 的水果。

2. ​步数计算的两个条件​：

   • 这两个条件分别对应两种移动策略：
     • 先向右到最远，然后向左。
     • 先向左到最远，然后向右。
   • 通过这两个条件可以确保总步数不超过 k。

总结

该解决方案通过滑动窗口和二分查找高效地找到了在最多 k 步内能收集到的最大水果数量。关键在于如何通过两个步数条件来调整窗口的左右边界，确保移动步数的限制被满足。