悬挂的绳子，它的函数方程是什么样子的？

悬挂的绳子，它的函数方程是什么样子的？

参考资料：

1. 用微积分方法推导“悬链线”方程，超级简单！！哔哩哔哩
2. 悬链线方程的推导 - 知乎
3. DeepSeek

前言

一个偶然的机会，笔者记起来，当时的高中数学教材引入自然常数 $e$ 的时候，似乎提到一句话，大体意思是说 $e$ 在生活中随处可见，比如两段电线杆之间自然下垂的电线就藏着自然常数的身影。

本人虽然没有学过大学物理，但是名义上来说也是学过了《微积分》和《线性代数》，因此机缘巧合之下，就想要试试能不能尽力去推导一下，悬挂的绳子究竟对应着怎样的函数方程，是否有一些美妙的性质。

一开始，笔者尝试通过互联网检索关键词“悬挂的绳子”查找相关资料，果然找到了“悬链线方程”这一比较正式的说法，下面是笔者整理的过程。

定义和假设

这里我们考虑一根长度为 $l$ 的绳，假设这根绳子是不可伸缩的，处处密度相等(假设线密度为 $\rho$ )的，柔软的，左右两端点被固定在水平距离为 $x$ 的两个端点上。

接下来，我们建立坐标系，设这个函数为$f(x)$（这里的纵坐标并未定义，我们先不做讨论）。根据问题的对称性，该函数图像应该是左右对称的，也就是说，这是一个偶函数，我们重点关注 $x>0$ 的部分。
（图中只是给出函数的大体图像方便想象，请忽略具体值）

推导

根据假设，该函数的定义域是 $x\in [0,\frac{s}{2}]$， 我们这里选取这样一段绳子，横坐标为 $[0,x_1]$（$x_1$可以取任意值）。
我们对这一部分绳子进行受力分析，这段绳子受到水平向左的拉力 $F_0$，受到斜向右上的拉力 $F_1$，设拉力方向与向右水平的夹角角度为 $\theta$，受到向下的重力 $G$。

（首先，我们要确定，绳子内部某一点所受拉力的方向一定沿着此处绳子的切线方向）：
针对 $F_0$，水平的原因是 $(x=0)$ 处的斜率为0（偶函数/最低点）；
针对 $F_1$，这里函数的斜率就是 $f^{\prime }(x_1)$，力的大小暂时未知；
针对 $G$，我们可以用 $f(x)$ 表示出来这段绳子的长度，从而求出绳子的重力：
$$G=\rho g{\int }_0^{x_1}\sqrt{1+f^{\prime 2}(x)}dx$$
下面，我们根据三个力的受力平衡，给出下面两个方程：
$$\begin{gathered} F_0=F_1\cdot \cos \theta (水平方向) \\ G=F_1\cdot \sin \theta (竖直方向) \end{gathered}$$
两个式子做差：
$$\begin{gathered} G=F_0\cdot \tan \theta \\ \Rightarrow \rho g{\int }_0^{x_1}\sqrt{1+f^{\prime 2}(x)}dx=F_0{f}^{\prime }(x)(\tan \theta =k=f^{\prime }(x)) \\ \Rightarrow \frac{\rho g}{F_0}\sqrt{1+f^{\prime 2}(x)}=f^{\prime \prime }(x)(两边同时求导消去积分) \end{gathered}$$
为了方便表示，这里的系数是定值，不妨设为 $a$，于是有：
$$a\sqrt{1+f^{\prime 2}(x)}=f^{\prime \prime }(x)$$
原本的问题就变成了对这样一个微分方程的求解。

求解微分方程

（过程有些繁琐但是用到的都是比较基础的微积分知识）

这里我直接求助了 deepseek，最后与视频给出的答案也是一致的，过程如下：
$$\begin{gathered} 令f^{\prime }(x)=p(x),f^{\prime \prime }(x)=p^{\prime }(x)，原本的问题变为 \\ {p}^{\prime }(x)=\sqrt{p^2(x)+1} \\ \Rightarrow \frac{dp}{\sqrt{p^2(x)+1}}=adx \\ \Rightarrow d(\ln (p+\sqrt{1+p^2}))=adx \\ \Rightarrow \ln (p+\sqrt{1+p^2})=ax+C \\ 这里带入(x=0)的情况，右侧为C，左侧因为p(0)=f^{\prime }(0)=0，因此C=0可以确定 \\ 于是现在只需要再去求p即可。 \\ p+\sqrt{1+p^2}=e^{ax}(1) \\ (这里(2)的由来比较巧妙，可以理解为(1)取倒数之后的分子有理化) \\ -p+\sqrt{1+p^2}=e^{-ax}(2) \\ 两者联立，就可以得到： \\ {f}^{\prime }(x)=p=\frac{1}{2}(e^{ax}-e^{-ax}) \\ f(x)=\frac{1}{2a}(e^{ax}+e^{-ax})+C \\ 这里就回到我们一开始说的纵坐标问题，我们不妨让C=0，就可以得到一个非常优美的函数！！ \\ f(x)=\frac{1}{2a}(e^{ax}+e^{-ax}) \end{gathered}$$