第二章 矩阵

专题一        矩阵的基本运算

1.矩阵的定义

由mxn个数构成的m行n列的数表

称为单位矩阵，记作E.
若矩阵A与B有相同的行数和相同的列数，则称A,B为同型矩阵

2.矩阵加法的定义

设、是同型矩阵（行列数分别相同 ），则与的和是一个新矩阵，其元素为对应位置元素相加，即，记作。

3.矩阵数乘的定义

设矩阵， 是常数，将矩阵的每个元素都乘以k 得到新矩阵 ，这个新矩阵就是 与的数乘，记作 。

4.矩阵乘法的定义

一行乘一列，对应行列数字相乘再相加。C行列=（行×列）

因式分解的公式对矩阵不适用

特别地，当时，

（1）pr：AB=AC，左乘，得B=C

（2）pr：由AB=AC，得A（B-C）=0，

        由阶矩阵，得,故,即

5.转置的定义

6.对称矩阵与反对称矩阵的定义

7.转置的性质

专题二        矩阵的逆

1.逆的定义

2.逆的性质

3.可逆的充要条件

4.逆的求法

专题三        矩阵的秩

1.k阶子式的定义

2.秩的定义

3.满秩的定义

4.秩的性质

秩小于等于行数和列数

和差的秩小于等于秩的和

乘积的秩小于等于每一个

联立的秩大于等于每一个，小于等于秩的和

乘非零常数秩不变

乘可逆矩阵秩不变

pr：性质三,,故

左乘列满秩或右乘行满秩，秩不变

乘转置矩阵秩不变

乘积为0，秩的和小于等于n

5.秩的求法

行阶梯形：，每行第1个非0的数下面的元素均为0

专题四        伴随矩阵

1.伴随矩阵的定义

 注意这是转置的

主对角互换，副对角变号

2.伴随矩阵的性质

其他证明见课本

（1）引入伴随矩阵是为了满足展开定理

总结：

3个n-1次方：型

总结：

上标运算可交换：

n代表高次幂，||代表行列式

专题五        初等变换与初等矩阵

1.初等变换的定义

2.初等矩阵的定义

3.初等变换与初等矩阵的性质

证明见课本

4.初等变换与初等矩阵的应用

5.矩阵等价的定义

6.矩阵等价的充要条件

专题六        分块矩阵

1.分块矩阵的加法

2.分块矩阵的数乘

3.分块矩阵的乘法

与矩阵乘法类似

4.分块矩阵的转置

5.分块矩阵的逆