拉格朗日插值法

拉格朗日插值法（Lagrange Interpolation） 是一种基于多项式的插值方法，用于通过给定的数据点（x, y）计算一个新的点的值。其基本思想是，给定一组数据点，通过构造一个多项式，使得这个多项式经过每一个数据点，从而可以用这个多项式来估计其他点的值。

拉格朗日插值法的核心思想：

假设你有 $n+1$ 个已知的数据点 $(x_0,y_0),(x_1,y_1),...,(x_n,y_n)$，拉格朗日插值法通过构造一个通过所有这些点的多项式来进行插值。

公式：

拉格朗日插值多项式的公式为：

$$P(x)=\sum _{i=0}^n{y}_i{L}_i(x)$$

其中，$L_i(x)$ 为 拉格朗日基多项式，其定义为：

$$L_i(x)=\prod _{\begin{array}{c}0\le j\le n\\ j\ne i\end{array}}\frac{x-x_j}{x_i-x_j}$$

这里：

• $y_i$ 是每个数据点的 $y$ 值。
• $L_i(x)$ 是一个基多项式，确保每个 $L_i(x)$ 只有一个数据点 $x_i$ 的值为 1，其他点的值为 0。
• $P(x)$ 是经过所有数据点的插值多项式。

解释：

1. 插值多项式： 每个 $L_i(x)$ 都是一个多项式，它的作用是当 $x=x_i$ 时，$L_i(x)$ 的值为 1，其他基多项式的值为 0。通过这个方法，每个数据点的 $y_i$ 值会乘上一个基多项式 $L_i(x)$，确保在插值过程中，所有数据点都会被准确通过。

2. 基多项式： 通过基多项式的构造，确保插值多项式在每一个 $x_i$ 处的值为对应的 $y_i$，而在其他点处的值则会被加权。

例子：

假设有三个数据点：$(1,2),(2,3),(3,5)$。

拉格朗日插值多项式将是：

$$P(x)=y_0{L}_0(x)+y_1{L}_1(x)+y_2{L}_2(x)$$

其中，基多项式为：

$$L_0(x)=\frac{(x-2)(x-3)}{(1-2)(1-3)}=\frac{(x-2)(x-3)}{2}$$

$$L_1(x)=\frac{(x-1)(x-3)}{(2-1)(2-3)}=-(x-1)(x-3)$$

$$L_2(x)=\frac{(x-1)(x-2)}{(3-1)(3-2)}=\frac{(x-1)(x-2)}{2}$$

因此，插值多项式为：

$$P(x)=2\cdot L_0(x)+3\cdot L_1(x)+5\cdot L_2(x)$$

这个多项式就能通过这三个点进行插值计算。

应用：

• 数据拟合： 用于构建经过一系列已知数据点的曲线，广泛应用于数值分析中。
• 数值计算： 在计算机图形学、科学计算和工程计算中，常用于计算一组离散数据点之间的值。

优缺点：

优点：

• 简单直观： 拉格朗日插值方法容易理解并且易于实现。
• 适用于任意数据点数： 它不需要事先知道数据点的函数形式。

缺点：

• 计算复杂度高： 对于数据点数较多时，计算量很大，特别是当数据点增多时，需要计算的乘积和求和也会急剧增加。
• 数值稳定性差： 在数据点数很多时，可能会出现 Runge 现象（在区间两端会出现振荡），导致插值结果不准确。