一致连续性背后的直觉是什么？

Uniform continuity

一、说明

在计算机作图或工程运算，并不需要在【-∞，∞】上考虑问题。能在一个区间保证处处可微就足以。因此引出一致连续性问题。本篇就谈谈啥叫一致连续函数。

二、概念和定义

2.1 简单连续

简单连续性是其最弱的形式。它告诉我们，如果我们想知道目标函数的值f在一定容忍范围内ϵ达到目标值x，但使用近似值x′精度有限，而不是真实值x我们可能无法获得或以其他方式知道无限的精度，即我们想要
$$|f（x_1）-f(x_2)|<ϵ$$
那么我们就能得到这个，如果我们可以测量x足够准确，也就是说，我们可以
$$|x_1-x_2|<\delta$$
对于一些δ> 0
这可能对每个x来说都一样，也可能不一样ϵ和x.

【1】简单连续例
对于函数$y=x^2$，在$x\in [-\infty ,\infty ]$是连续的，

在A，B，C三个点附近，给出一个条件：
$$|f（x_1）-f(x_2)|<ϵ$$
显然，对应的有$\Delta x<\delta 1$,$\Delta x<\delta 2$,$\Delta x<\delta 3$能满足上面等式。然而：
$\delta 1>\delta 2>\delta 3>....$

• 即每个点附近，$\delta i$是不一致的。
• 随着x在正半轴的递增延续，对应ε的δi递减，接近0。

【2】另一个例子
依然是对于函数$y=x^2$，在$x\in [-3,3]$是连续的，

但是，在A，B，C三个点附近，给出一个条件：
$$|f（x_1）-f(x_2)|<ϵ$$
显然，对应的有$\Delta x<\delta 1$,$\Delta x<\delta 2$,$\Delta x<\delta 3$能满足上面等式。然而：
$\delta 1>\delta 2>\delta 3$

• 即每个点附近，只要将$\delta i$替换成$\delta 3$就能保证定义域内部任意一点处有：
  $$|f（x_1）-f(x_2)|<ϵ$$
  所以说，函数$y=x^2$在一个闭区间内是一致连续的。

2.2 一致连续

一致连续性是函数的一种性质，其中函数值的接近程度仅取决于其输入的接近程度，而不取决于它们在域内的具体位置 简而言之，如果能找到一个适用于整个域的“接近度”值（delta），确保输s入中彼此接近的点在输出中也彼此接近，则该函数是一致连续的。 这与常规连续性不同，常规连续性的“接近度”值（delta）可能会根据域中的特定点而变化。
以下是更正式的解释：
定义：函数 $f：D->R$（其中 D 是实数子集）在 D 上一致连续，如果对于每个$\epsilon >0$，都存在一个 $\delta >0$，使得对于 D 中的所有 x、y，如果 $|x-y|<\delta$，则 $|f(x)-f(y)|<\epsilon$。

• ε ：表示函数值期望的接近程度。 您希望 f(x) 和 f(y) 之间的差小于 ε。
• δ ：表示输入值（x 和 y）所需的接近度。 您需要找到一个 δ，使得如果 x 和 y 彼此在 δ 范围内，则它们的函数值也将彼此在 ε 范围内。
• 均匀性：关键的区别在于，对于一致连续性，δ 必须适用于域 D 中的所有 x 和 y。在常规连续性中，δ 可能取决于您正在查看的特定点。
• 直觉：想象一下一个函数的图像。 如果一个函数是一致连续的，你可以找到一个单一的“窗口”大小（增量），当沿着图像移动时，图像始终保持在窗口的边界内。 如果函数不是一致连续的，你可能需要随着图像移动，窗口越来越小，以使图像保持在窗口的边界内。

2.3 举几个例子

1）函数 $f(x)=1/(1+x^2)$ 在实数范围 R上.一致连续
证明：

而且

说明一个问题：
只要

δ=ε 就能保证每一个点处都可以连续。因此是一致连续。

2）直线是一致连续的

3. Lipschitz函数是一致连续的，比如：$y=\sqrt{x^2+5}$是一致连续的。
   关于Lipschitz函数将在下一篇中讨论。

三、测量应用基础

连续性（无论其形式如何）的真正“要点”在于，它是“使计算器和测量变得有用的属性”。计算器和测量本质上是近似设备，其精度有限。因此，像计算器按钮上的那些特殊功能，如果要发挥作用，就应该具备某种“承诺”，即即使我们只知道有限精度的输入，我们至少也能知道某种有用精度的输出。

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