Stable Diffusion推导与理解：从文本到图像的生成革命

Stable Diffusion推导与理解：从文本到图像的生成革命

1. 引言：Stable Diffusion的诞生背景

在扩散模型的发展历程中，Stable Diffusion代表了从无条件生成到条件生成的重大突破。它巧妙地将潜空间扩散与文本条件机制结合，实现了高效、可控的文本到图像生成。

1.1 从DDPM到Stable Diffusion的演进

模型演进	核心突破	主要限制
DDPM	基础扩散框架	无条件生成，速度慢
DDIM	加速采样算法	仍是无条件生成
Latent Diffusion	潜空间压缩	减少计算量
Stable Diffusion	文本条件+潜空间	高效可控生成

2. 核心架构：三驾马车协同工作

2.1 系统架构总览

文本输入 → CLIP文本编码器 → 条件向量
噪声图像 → 潜空间编码器 → 潜空间特征↓条件扩散模型（U-Net）↓潜空间解码器 → 生成图像

2.2 三大核心组件

2.2.1 VAE（Variational Autoencoder）

• 作用：将图像压缩到潜空间，大幅减少计算量
• 压缩比：512×512×3 → 64×64×4（约48倍压缩）
• 关键公式：
  • 编码：$z=\text{Encoder}(x)$
  • 解码：$\hat{x}=\text{Decoder}(z)$

2.2.2 CLIP文本编码器

• 作用：将文本描述转换为语义向量
• 架构：基于Transformer的文本理解模型
• 输出：77×768维的文本特征矩阵

2.2.3 条件U-Net

• 作用：在潜空间中执行条件扩散
• 输入：噪声潜空间特征 + 文本条件
• 输出：预测的噪声

3. 数学建模：条件扩散的精确推导

3.1 前向过程：带条件的马尔可夫链

3.1.1 潜空间前向过程

$$q(z_t|z_{t-1})=\mathcal{N}(z_t;\sqrt{1-{\beta }_t}{z}_{t-1},{\beta }_{t}I)$$

3.1.2 条件概率建模

$$q(z_t|z_0,c)=\mathcal{N}(z_t;\sqrt{{\bar{\alpha }}_t}{z}_0,(1-{\bar{\alpha }}_t)I)$$

其中$c$为文本条件，通过交叉注意力机制融入。

3.2 反向过程：条件去噪

3.2.1 条件反向分布

$$p_{\theta }(z_{t-1}|z_t,c)=\mathcal{N}(z_{t-1};{\mu }_{\theta }(z_t,t,c),{\Sigma }_{\theta }(z_t,t,c))$$

3.2.2 简化后的反向过程

$$z_{t-1}=\frac{1}{\sqrt{{\alpha }_t}}\left(z_t-\frac{1-{\alpha }_t}{\sqrt{1-{\bar{\alpha }}_t}}{ϵ}_{\theta }(z_t,t,c)\right)+{\sigma }_tϵ$$

3.3 损失函数：条件变分下界

3.3.1 完整ELBO

$${\mathcal{L}}_{\text{LDM}}={\mathbb{E}}_{x,c,ϵ\sim \mathcal{N}(0,1),t}\left[\Vert ϵ-{ϵ}_{\theta }(z_t,t,c){\Vert }^2\right]+{\mathcal{L}}_{\text{reg}}$$

3.3.2 简化的MSE损失

$${\mathcal{L}}_{\text{simple}}={\mathbb{E}}_{z_0,c,ϵ,t}\left[\Vert ϵ-{ϵ}_{\theta }(\sqrt{{\bar{\alpha }}_t}{z}_0+\sqrt{1-{\bar{\alpha }}_t}ϵ,t,c){\Vert }^2\right]$$

4. 条件机制：文本如何引导生成

4.1 交叉注意力机制详解

4.1.1 交叉注意力计算流程

# 交叉注意力的正确实现：图像特征作为查询，文本作为键值对
def cross_attention(x, context):"""x: 图像特征 [B, C, H, W] - 作为查询context: 文本特征 [B, seq_len, text_dim] - 作为键和值"""# 将图像特征reshape为序列B, C, H, W = x.shapex_seq = x.view(B, C, H*W).transpose(1, 2)  # [B, H*W, C]# 计算查询、键、值q = linear_q(x_seq)      # 查询来自图像 [B, H*W, d_k]k = linear_k(context)    # 键来自文本 [B, seq_len, d_k]v = linear_v(context)    # 值来自文本 [B, seq_len, d_v]# 计算注意力权重：图像查询与文本键的相似度scores = q @ k.transpose(-2, -1) / sqrt(d_k)  # [B, H*W, seq_len]attn_weights = softmax(scores, dim=-1)# 用文本的值加权求和：图像区域从文本获取相关信息out = attn_weights @ v  # [B, H*W, d_v]# 转换回空间维度return out.transpose(1, 2).view(B, d_v, H, W)# 多头交叉注意力实现
def multi_head_cross_attention(x, context, num_heads=8):"""多头版本：增强表达能力"""B, C, H, W = x.shapex_seq = x.view(B, C, H*W).transpose(1, 2)# 分割为多个头q = linear_q(x_seq).view(B, H*W, num_heads, -1).transpose(1, 2)k = linear_k(context).view(B, context.size(1), num_heads, -1).transpose(1, 2)v = linear_v(context).view(B, context.size(1), num_heads, -1).transpose(1, 2)# 计算注意力scores = (q @ k.transpose(-2, -1)) / sqrt(q.size(-1))attn = softmax(scores, dim=-1)# 合并多头out = (attn @ v).transpose(1, 2).contiguous().view(B, H*W, -1)return out.transpose(1, 2).view(B, -1, H, W)

4.1.2 条件引导强度控制：CFG的深层理解

4.1.2.1 数学原理：从噪声到条件的向量变换

Classifier-Free Guidance (CFG)的核心思想是通过向量插值来控制文本条件的影响强度：

$${\widetilde{ϵ}}_{\theta }(z_t,t,c)=\underset{\text{无条件噪声}}{\underbrace{{ϵ}_{\theta }(z_t,t,\varnothing )}}+\underset{\text{引导强度}}{\underbrace{s}}\cdot \underset{\text{条件方向向量}}{\underbrace{\left({ϵ}_{\theta }(z_t,t,c)-{ϵ}_{\theta }(z_t,t,\varnothing )\right)}}$$

几何解释：

• 起点：无条件噪声预测（完全随机）
• 方向：从无条件到条件的差分向量（文本语义方向）
• 缩放：通过引导强度$s$控制沿该方向的移动距离

4.1.2.2 引导强度的物理意义

引导强度$s$	物理意义	生成效果	适用场景
$s=1.0$	无引导（纯插值）	完全遵循文本，但可能过于保守	需要高度准确性
$s=7.5$	标准引导（经验最优）	平衡质量和多样性	大多数场景
$s=15.0$	强引导	文本特征过度强化	强调特定元素
$s=20.0+$	过强引导	图像失真、色彩过饱和	特殊艺术效果

4.1.2.3 实际效果对比分析

以"a red cat sitting on a blue sofa"为例：

# 不同引导强度的实际效果
prompt = "a red cat sitting on a blue sofa, photorealistic"# s=1.0: 过于保守，可能生成普通猫咪
# s=7.5: 完美平衡，红色猫咪+蓝色沙发清晰可见
# s=15.0: 红色过度饱和，沙发蓝色过于鲜艳
# s=20.0: 图像开始失真，出现不自然的色块

4.2 文本条件的处理流程

4.2.1 文本编码

1. 分词：将文本分解为token序列
2. 嵌入：将token映射为连续向量
3. 位置编码：添加位置信息
4. Transformer编码：生成上下文相关的文本特征

4.2.2 条件注入策略

• 时间步嵌入：将时间信息注入每个残差块
• 文本条件：通过交叉注意力注入文本信息
• 空间条件：支持额外的空间控制（如深度图、边缘图）

5. 实现细节：工程化的关键优化

5.1 潜空间扩散的数学推导

5.1.1 从像素空间到潜空间

原始问题：在像素空间直接扩散计算量巨大

• 512×512×3图像 = 786,432维
• 计算复杂度：$O(n^2)$

解决方案：

• 潜空间维度：64×64×4 = 16,384维
• 计算量减少：48倍

5.1.2 潜空间扩散的等价性证明

关键引理：潜空间扩散等价于像素空间扩散的低秩近似

$$p(x|c)=\int p(x|z)p(z|c)dz\approx p_{\theta }(x|c)$$

5.2 网络架构设计

5.2.1 条件U-Net结构

输入: z_t (64×64×4) + c (文本条件)↓
时间步嵌入 (1280维)↓
下采样路径:- 64×64×320  → 32×32×640  → 16×16×1280  → 8×8×1280↓
中间层: 8×8×1280 (带交叉注意力)↓
上采样路径:- 8×8×1280  → 16×16×1280  → 32×32×640  → 64×64×320↓
输出: 预测的噪声 ε_θ (64×64×4)

5.2.2 注意力机制配置

层级	自注意力	交叉注意力	头数
64×64	✓	✓	8
32×32	✓	✓	8
16×16	✓	✓	8
8×8	✓	✓	8

5.3 训练策略

5.3.1 两阶段训练

1. 第一阶段：训练VAE编码器-解码器
2. 第二阶段：固定VAE，训练条件扩散模型

5.3.2 条件丢弃（Condition Dropout）

• 目的：支持无分类器引导
• 实现：训练时随机将文本条件替换为空文本
• 比例：通常20%的条件丢弃率

6. 采样算法：从噪声到图像

6.1 DDIM在Stable Diffusion中的应用

6.1.1 条件DDIM采样

def stable_diffusion_sample(prompt, steps=50, guidance_scale=7.5):"""Stable Diffusion采样完整流程"""# 1. 文本编码text_emb = clip_encode(prompt)# 2. 初始化噪声z_T = torch.randn(1, 4, 64, 64)# 3. 条件DDIM采样for t in reversed(range(steps)):# 预测无条件噪声eps_uncond = unet(z_t, t, text_empty)# 预测条件噪声eps_cond = unet(z_t, t, text_emb)# 分类器无关引导eps = eps_uncond + guidance_scale * (eps_cond - eps_uncond)# DDIM更新z_t = ddim_step(z_t, eps, t)# 4. 解码到像素空间image = vae_decode(z_0)return image

6.1.2 采样步数与质量权衡

步数	质量	时间	适用场景
20步	可接受	1s	快速原型
50步	良好	2.5s	日常使用
100步	优秀	5s	高质量需求
1000步	最佳	50s	学术研究

6.2 高级采样技巧

6.2.1 负向提示（Negative Prompts）

数学表达：
$${\widetilde{ϵ}}_{\theta }={ϵ}_{\theta }(c_{\text{neg}})+s({ϵ}_{\theta }(c_{\text{pos}})-{ϵ}_{\theta }(c_{\text{neg}}))$$

6.2.2 迭代优化（Iterative Refinement）

原理：通过多次采样逐步优化结果

def iterative_refinement(prompt, num_iterations=3):images = []for i in range(num_iterations):seed = random_seed()img = generate(prompt, seed=seed)images.append(img)return select_best(images)

7. 图像条件生成：图文再生图原理

7.1 核心思想验证

图文再生图是在文本条件基础上，额外引入图像特征向量作为条件，数学形式从$p_{\theta }(x_t|x_{t+1},c_{text})$扩展为$p_{\theta }(x_t|x_{t+1},c_{text},c_{image})$。

7.2 图像条件注入机制

7.2.1 数学建模

条件扩散公式扩展：
$${ϵ}_{\theta }(x_t,t,c_{text},c_{image})={ϵ}_{\theta }(x_t,t)+s_{text}\cdot w_{text}(c_{text})+s_{image}\cdot w_{image}(c_{image})$$

7.2.2 特征融合策略对比

方法	数学形式	特点
直接拼接	$[c_{text};c_{image}]$	简单但耦合度高
交叉注意力	$\text{CrossAttn}(Q,[K_{text},K_{image}])$	灵活控制权重
ControlNet	${ϵ}_{\theta }+\Delta {ϵ}_{\text{image}}$	保持原模型权重

7.3 IP-Adapter详解（图文再生图主流方案）

7.3.1 架构设计

class IPAdapter(nn.Module):def __init__(self):self.image_encoder = CLIPVisionModel()  # 图像特征提取self.adapter_layers = nn.ModuleList([CrossAttention(dim=768) for _ in range(16)])def forward(self, image_features, text_features):# 图像特征：$f_{img} = \text{CLIP}_{vision}(I)$img_feat = self.image_encoder(image)# 交叉注意力融合：$h = \text{CrossAttn}(h, [f_{text}, f_{img}])$for layer in self.adapter_layers:hidden_states = layer(hidden_states, img_feat)return hidden_states

7.3.2 数学推导

图像条件损失函数：
$${\mathcal{L}}_{IP}={\mathbb{E}}_{x_0,ϵ,t,c_{text},c_{image}}\left[\Vert ϵ-{ϵ}_{\theta }(x_t,t,c_{text},c_{image}){\Vert }^2\right]$$

特征权重控制：
$${\widetilde{ϵ}}_{\theta }={ϵ}_{\theta }(x_t,t,c_{text})+{\lambda }_{image}\cdot ({ϵ}_{\theta }(x_t,t,c_{text},c_{image})-{ϵ}_{\theta }(x_t,t,c_{text}))$$

7.4 ControlNet数学原理

7.4.1 零卷积设计

$$\mathcal{F}(h;\Theta )=\text{ZeroConv}(h)+\text{ControlNet}(h,c_{image})$$

其中零卷积：$W_0=0$，保证初始状态不影响原模型。

7.4.2 条件控制强度

$${\widehat{ϵ}}_{\theta }={ϵ}_{\theta }(x_t,t,c_{text})+\gamma \cdot \text{ControlNet}(x_t,t,c_{image})$$

7.5 实际应用对比

7.5.1 条件类型与效果

条件类型	输入形式	控制精度	计算开销
文本	描述文字	语义级	低
图像	参考图	风格级	中
深度图	深度信息	结构级	高
边缘图	Canny边缘	轮廓级	高
姿态图	人体关键点	姿态级	高

7.5.2 代码实现示例

图文再生图完整流程：

def image_to_image_generation(prompt: str,input_image: Image,strength: float = 0.75,guidance_scale: float = 7.5
):# 1. 图像编码image_features = image_encoder(input_image)# 2. 文本编码text_features = text_encoder(prompt)# 3. 条件融合combined_conditions = {'text': text_features,'image': image_features,'strength': strength  # 控制图像条件强度}# 4. 扩散采样latents = diffusion_sample(shape=(4, 64, 64),conditions=combined_conditions,guidance_scale=guidance_scale)# 5. 解码输出return vae_decoder(latents)

7.6 高级技巧

7.6.1 条件权重平衡

自适应权重策略：
$${\lambda }_{image}(t)={\lambda }_{base}\cdot (1-\frac{t}{T})$$

早期强化图像条件建立结构，后期放松保留细节。

7.6.2 多条件冲突解决

当文本和图像条件冲突时：
$${ϵ}_{final}=\alpha \cdot {ϵ}_{text}+(1-\alpha )\cdot {ϵ}_{image}$$

通过调整$\alpha$实现条件优先级控制。

8. 总结与展望

8.1 技术演进路径

1. 单模态 → 多模态：从纯文本到图文联合条件
2. 粗粒度 → 细粒度：从全局风格到局部细节控制
3. 静态 → 动态：从静态图像到视频序列生成

8.2 选择指南

应用场景	推荐方案	关键参数
风格迁移	IP-Adapter	image_strength=0.8
结构控制	ControlNet	control_strength=1.0
细节修复	图文联合	text_strength=0.6
创意生成	低强度条件	image_strength=0.3

8.3 未来方向

• 3D条件：深度、法线、网格控制
• 时序一致性：视频生成的帧间连贯
• 交互式编辑：实时条件调整与反馈

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参考：
1、High-Resolution Image Synthesis with Latent Diffusion Models