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算法思维进阶力扣 375.猜数字大小 II 暴力递归记忆化搜索 DFS C++详细算法解析每日一题

news 2025/7/31 18:02:24

零、题目描述
一、为什么这道题值得深入理解？
二、题目拆解：用“决策树”理解核心矛盾
三、思路演进：从暴力递归到记忆化搜索
四、代码详解：逐行理解记忆化搜索的实现
五、示例推演：用n=3理解记忆化过程
六、复杂度分析与优势
- 时间复杂度
- 空间复杂度
- 与暴力递归的对比
七、坑点总结：实现时的注意事项
八、举一反三：为下一篇做铺垫
九、总结

零、题目描述

题目链接：力扣 375. 猜数字大小 II

在这里插入图片描述

如果感觉没明白题目的意思，我们可以换个角度，把这个问题理解成“提前准备一笔钱，确保无论对方选1到n中的哪个数字，你都能通过最优的猜测顺序把它猜出来，这笔钱最少需要多少”。

为什么要强调“无论对方选哪个数字”？因为你没法预知对方的选择，所以必须考虑最极端的情况——比如你猜了A，对方说“小了”；你再猜B，对方说“大了”……这个过程中花的钱可能有多有少，但你必须保证：哪怕遇到花钱最多的那条猜测路径，你手里的钱也足够用。而我们要找的，就是能覆盖所有可能情况的“最小启动资金”。

用两个例子直观感受：

举个直观的例子：

当 n=2 时，花的最少的钱是 1。

如果你先猜 1：猜对了不花钱；猜错了（实际是 2），花 1 元就能再猜到 2。最坏花费 1 元。
如果你先猜 2：猜错了（实际是 1），要花 2 元再猜 1。最坏花费 2 元。
所以最小确保金额是 1。

当 n=3 时，答案是 2。

先猜 2：猜错了（无论是 1 还是 3），只需再猜一次即可，总花费 2 元。
先猜 1 或 3：最坏情况要花 4 元（比如猜 1 错了，实际是 3，总花费 1+3=4）。
所以最优选择是先猜 2，最小确保金额为 2。

简单说就是：你要站在“最倒霉”的角度，选一条“花钱最少”的万能策略——我们不应管对方选的是什么数字，你都能靠这笔钱稳稳赢下游戏，而这笔钱还不能多花一分。

代码框架：

class Solution {
public:int getMoneyAmount(int n) {}
};

一、为什么这道题值得深入理解？

猜数字大小 II 是区间类记忆化搜索的经典代表，其价值体现在三个方面：

“最坏情况最优解”的思维训练：题目要求“确保能猜到的最小金额”，本质是在“最坏情况”（即每次都遇到最不利的数字）下寻找“最小成本”，这种“最大化最小值”的决策逻辑是很多博弈问题、风险控制问题的核心；
区间子问题的拆解艺术：问题天然可拆解为“左区间”和“右区间”的子问题，理解这种“区间分割”的递归逻辑，能直接迁移到矩阵链乘法、石子游戏等区间DP问题；
记忆化搜索的典型应用：暴力递归的时间复杂度高达O(n!)，而通过记忆化搜索可将复杂度降至O(n³)，这种“用空间换时间”的优化思路在此题中体现得淋漓尽致，能帮你掌握“识别重复子问题”的关键能力。

下一篇我们将讲解的「329. 矩阵中最长递增路径」同样依赖记忆化搜索解决“重复子问题”，提前吃透这道题的思路，能为后续学习打下坚实基础。

二、题目拆解：用“决策树”理解核心矛盾

要解决这道题，首先需明确“确保能猜到的最小金额”的含义。我们可以用决策树来可视化过程：

每个节点代表一次猜测（值为所猜数字）；
左子树表示“实际数字比猜测值小”，右子树表示“实际数字比猜测值大”；
从根节点到叶子节点（正确数字）的路径之和，就是此次猜测的总花费；
我们需要找到一棵“根节点的最大路径和最小”的决策树——即“最坏情况下花费最小”的策略。

以 n=3 为例，决策树如下：

方案1：根节点猜2├─ 小于于目标数，左子树（那么答案是1）：无需再猜，路径和=2└─ 大于目标数，右子树（那么答案是3）：无需再猜，路径和=2最坏情况花费=2（取最大值）方案2：根节点猜1├─ 小于于目标数，左子树：无（1是最小）└─ 大于目标数，右子树（实际是2或3）├─需猜2（就可以知道答案了，是3），花费和是=1+2=3└─需猜3（就可以知道答案了，是2），花费和是=1+3=4最坏情况花费=4（取最大值）方案3：根节点猜3├─ 小于目标数，左子树（实际是2或1）|						  ├─需猜2（就可以知道答案了，是1），花费和是=3+2=5|				          └─需猜1（就可以知道答案了，是2），花费和是=3+1=4└─ 大于目标数，右子树：无（3是最大）最坏情况花费=5（取最大值）在根节点提供的情况中取花费最小的情况，就是根节点为2花费2为最终结果

核心矛盾：暴力枚举所有可能的猜测顺序会导致指数级复杂度（每个区间有O(n)种猜测选择，子区间又有O(n)种，递归深度O(n)），必须通过“存储子区间的计算结果”来避免重复计算。

三、思路演进：从暴力递归到记忆化搜索

1. 暴力递归：枚举所有可能的猜测点
核心思路：对于区间[left, right]，尝试每一个可能的猜测点i（left ≤ i ≤ right），计算“猜i的花费 + 左右子区间的最坏情况花费”，取所有i中的最小值。

子问题定义：dfs(left, right) 表示“猜中[left, right]之间的数字，确保能猜到的最小金额”；
递归逻辑：dfs(left, right) = min( i + max(dfs(left, i-1), dfs(i+1, right)) ) （i从left到right遍历）；
- i 是当前猜的数字（需支付i元）；
- max(dfs(left, i-1), dfs(i+1, right)) 是“最坏情况”（左右子区间中花费更大的那个）；
边界条件：当left ≥ right时（区间内只有0或1个数字），无需猜测，花费为0。

暴力递归代码（超时但思路关键）：

class Solution {
public:int getMoneyAmount(int n) {return dfs(1, n);}// 计算区间[left, right]的最小确保金额int dfs(int left, int right) {// 区间为空或只有一个数字，无需猜测if (left >= right) return 0;int minCost = INT_MAX;// 尝试每个可能的猜测点ifor (int i = left; i <= right; i++) {// 猜i的花费 = i + 左右子区间的最坏情况（取较大者）int cost = i + max(dfs(left, i-1), dfs(i+1, right));// 取所有猜测点中的最小花费minCost = min(minCost, cost);}return minCost;}
};

为什么超时？
以n=4为例，dfs(1,4) 会计算 dfs(1,0)、dfs(2,4)、dfs(1,1)、dfs(3,4) 等子问题，而 dfs(2,4) 又会计算 dfs(2,1)、dfs(3,4)——其中 dfs(3,4) 被重复计算。随着n增大，重复子问题呈指数级增长，时间复杂度高达O(n!)，n=20时就已无法承受。

2. 记忆化搜索：用备忘录存储重复子问题
优化核心：区间[left, right]的最小花费是固定的，无论它是从哪个父区间拆分而来，结果都相同。因此，我们可以用一个二维数组 memo[left][right] 存储计算过的结果，避免重复递归。

步骤升级：

定义备忘录 memo[left][right]，初始值为0（表示未计算）；
计算 dfs(left, right) 前，先检查 memo[left][right]：
- 若不为0，直接返回（已计算）；
- 若为0，计算后存入 memo[left][right] 再返回。

记忆化搜索代码：

class Solution {
public:int memo[201][201];  // 备忘录：存储区间[left][right]的最小确保金额int getMoneyAmount(int n) {// 初始化备忘录（全局变量默认0，无需额外初始化）return dfs(1, n);}int dfs(int left, int right) {// 边界条件：区间为空或只有一个数字，花费0if (left >= right) return 0;// 若已计算，直接返回备忘录中的结果if (memo[left][right] != 0) return memo[left][right];int minCost = INT_MAX;// 尝试所有可能的猜测点ifor (int i = left; i <= right; i++) {// 计算左右子区间的花费int leftCost = dfs(left, i-1);int rightCost = dfs(i+1, right);// 当前猜测i的总花费 = i + 左右子区间的最坏情况（取较大者）int currentCost = i + max(leftCost, rightCost);// 取所有猜测点中的最小花费minCost = min(minCost, currentCost);}// 存入备忘录memo[left][right] = minCost;return minCost;}
};

四、代码详解：逐行理解记忆化搜索的实现

1. 备忘录设计

int memo[201][201];

尺寸选择：题目中n最大为200，区间left和right的范围是1~200，因此201×201的数组足够覆盖所有可能的区间；
初始值：全局数组默认初始化为0，而有效结果（除边界条件）均为正数，因此0可安全表示“未计算”。

2. 递归函数 dfs(left, right)

int dfs(int left, int right) {if (left >= right) return 0;  // 边界：无需猜测if (memo[left][right] != 0) return memo[left][right];  // 读取备忘录

边界条件：当left ≥ right时，区间内最多只有一个数字，无需猜测即可确定，花费0；
备忘录检查：若已计算过该区间，直接返回结果，避免重复递归。

3. 核心计算逻辑

int minCost = INT_MAX;
for (int i = left; i <= right; i++) {int leftCost = dfs(left, i-1);  // 左子区间花费int rightCost = dfs(i+1, right);  // 右子区间花费int currentCost = i + max(leftCost, rightCost);  // 最坏情况花费minCost = min(minCost, currentCost);  // 取最小的最坏情况
}

遍历所有可能的猜测点i：每个i将区间拆分为[left, i-1]和[i+1, right]；
计算最坏情况：因为我们需要“确保能猜到”，必须考虑左右子区间中花费更大的那个（即最坏情况），再加上当前猜测i的花费；
取最小值：在所有可能的i中，选择“最坏情况花费最小”的那个，即为当前区间的最优解。

4. 存入备忘录并返回

memo[left][right] = minCost;
return minCost;

将计算结果存入备忘录，供后续调用直接使用，完成“空间换时间”的优化。

五、示例推演：用n=3理解记忆化过程

以n=3为例，演示记忆化搜索的执行流程：

调用 dfs(1,3)，memo[1][3] 为0，进入计算；
遍历i=1,2,3：
- i=1：
  - 左子区间 dfs(1,0) → 0（边界）；
  - 右子区间 dfs(2,3) → 首次计算：
    - i=2：左 dfs(2,1)=0，右 dfs(3,3)=0 → 花费2+0=2；
    - i=3：左 dfs(2,2)=0，右 dfs(4,3)=0 → 花费3+0=3；
    - dfs(2,3) 取min(2,3)=2，存入 memo[2][3]=2；
  - 当前花费：1 + max(0, 2) = 3；
- i=2：
  - 左子区间 dfs(1,1)=0，右子区间 dfs(3,3)=0；
  - 当前花费：2 + max(0, 0) = 2；
- i=3：
  - 左子区间 dfs(1,2) → 首次计算（过程类似，结果为1）；
  - 当前花费：3 + max(1, 0) = 4；
minCost 取min(3,2,4)=2，存入 memo[1][3]=2，返回2。

可见，memo[2][3] 和 memo[1][2] 等子区间的结果被存储后，若后续其他父区间需要调用，可直接读取，大幅减少计算量。

六、复杂度分析与优势

时间复杂度

记忆化搜索中，每个区间[left, right]只计算一次，区间总数为O(n²)（left和right各有n种可能）；
每个区间的计算需要遍历O(n)个猜测点i；
总时间复杂度：O(n³)，n=200时为200³=8,000,000，完全可接受。

空间复杂度

备忘录数组大小为O(n²)（201×201≈40,000）；
递归栈深度为O(n)（最坏情况区间从1到n，递归深度n）；
总空间复杂度：O(n²)。

与暴力递归的对比

维度	暴力递归	记忆化搜索
时间复杂度	O(n!)	O(n³)
空间复杂度	O(n)（递归栈）	O(n²)（备忘录+栈）
核心优化点	无	存储重复子问题结果

七、坑点总结：实现时的注意事项

备忘录的尺寸与初始化
- 若n最大为200，备忘录需至少为201×201（因为数字从1开始），避免数组越界；
- 初始值需与“有效结果”区分：若用0表示未计算，需确保有效结果不为0（此题中只有边界条件为0，其他情况均为正数，因此安全）。
循环遍历的范围
- 猜测点i必须遍历[left, right]的所有可能值，不能遗漏。例如n=3时若漏掉i=2，会错误地得到4作为结果。
“最坏情况”的取法
- 必须用 max(leftCost, rightCost) 而非 min，因为我们需要确保“无论实际数字在左还是右，都有足够的钱完成猜测”。取max才能覆盖最坏情况。
递归边界的判断
- left >= right 时返回0，涵盖了left > right（空区间）和left = right（单数字区间）两种情况，无需额外拆分。