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数学建模——蒙特卡罗法

news 2025/8/2 10:39:21

主成分分析实在是有点难啊，萌新看不懂，过两天研究一下再说

蒙特卡罗法的基本概念

蒙特卡罗法（Monte Carlo Method）是一种基于随机采样的数值计算方法，通过重复随机抽样来近似求解数学、物理或工程问题。其核心思想是利用概率统计理论，通过大量实验结果的统计平均来逼近目标值。

核心是：用大量随机数或者统计大量数据来实现某一个目标，原理就是大数定理，当样本容量足够大时发生频率即为其概率

数学建模没有专门的蒙特卡罗算法，要根据实际需求写代码

常见的蒙特卡罗算法：

示例：

1.计算圆周率π

在单位正方形内随机投点，坐标为 $((x, y)),(x, y \in [0,1])$ 。
统计落在单位圆内的点数量 (M)（满足 $(x^2 + y^2 \leq 1)$ ）。
圆周率估计值为：
$[ \pi \approx 4 \cdot \frac{M}{N} ]$
其中 (N) 为总投点数。

代码

clc; clear;
% 参数初始化：投放10000个点，圆半径为1，圆心坐标（1，1）
% 初始时还未投放点，有0个点在圆内
p = 10000;
r = 1;
x0 = 1;
y0 = 1;
n = 0;hold on; % 保持绘图窗口，多次绘图
for i = 1:p % 对于要投放的总共p个点% rand函数产生在(0,1)之间的随机数px = rand * 2; % 随机生成该点的横坐标py = rand * 2; % 随机生成该点的纵坐标% 若该点在圆内，则颜色设为蓝色，变量n加一；在圆外则设为红色if (px - 1)^2 + (py - 1)^2 < 1 % 横纵坐标的平方和小于半径，则在圆内plot(px, py, '.', 'Color', 'b');n = n + 1;elseplot(px, py, '.', 'Color', 'r');end
endaxis equal; % 绘图时横纵坐标单位长度相同，便于观察圆
s = (n / p) * 4;
pi0 = s;

这里补充一个为什么用hold on以及随机数生成

1. hold on

在 MATLAB 中，hold on 用于保留当前图形窗口中的已有图形内容，使后续绘图命令不会覆盖已有图形。默认情况下，每次调用绘图函数（如 plot、scatter）会清除之前的图形并重新绘制。

使用场景

叠加绘图：在同一坐标系中绘制多条曲线或图形时，避免覆盖之前的内容。
对比数据：将多组数据绘制在同一图中，便于直观对比趋势或分布。

2. 随机数生成

生成均匀分布的随机数

使用 rand 函数生成 [0, 1) 区间内均匀分布的随机数。

生成单个随机数：r = rand
生成 m×n 矩阵随机数：R = rand(m, n)
生成指定区间 [a, b] 的均匀随机数：R = a + (b-a)*rand(m, n)

生成正态分布的随机数

使用 randn 函数生成标准正态分布（均值为0，标准差为1）的随机数。

生成单个随机数：r = randn
生成 m×n 矩阵随机数：R = randn(m, n)
生成自定义参数的正态随机数（均值 mu，标准差 sigma）：
R = mu + sigma*randn(m, n)

生成随机整数

使用 randi 函数生成指定范围内的随机整数。

生成 [1, k] 的随机整数：r = randi(k)
生成 [a, b] 的随机整数矩阵：R = randi([a, b], m, n)

2.投针实验

投针实验（Buffon's Needle Experiment）是18世纪法国数学家布丰（Georges-Louis Leclerc, Comte de Buffon）提出的概率问题，用于通过物理实验估算圆周率π的值。其核心思想是通过随机投掷针到平行线平面上，利用几何概率计算针与线相交的概率，进而推导π的近似值。

假设平面上有一组间距为d的平行线，针的长度为l（要求l ≤ d）。随机投掷针时，针与任一条平行线相交的概率P与π相关，公式为：
$[ P = \frac{2l}{\pi d} ]$
通过大量实验统计相交次数N与总投掷次数T的比值（即频率），可近似概率P ≈ N/T，从而反推π的估计值：
$[ \pi \approx \frac{2l \cdot T}{d \cdot N} ]$

3.三门问题

三门问题（Monty Hall Problem）源自美国电视节目《Let's Make a Deal》，由主持人Monty Hall命名。问题描述如下：

参与者面前有三扇关闭的门，背后分别是一辆车和两只山羊。
参与者选择一扇门（如门1），主持人（知道门后情况）会打开另一扇有山羊的门（如门3），并询问是否改选门2。
问题的核心是：坚持原选择或改选，哪种策略赢得汽车的概率更高？

经典解答

改选策略的胜率为2/3，坚持原选择的胜率为1/3。

初始选择正确的概率为1/3，此时坚持获胜，改选失败。
初始选择错误的概率为2/3（车在其他两扇门后），主持人会排除错误选项，改选必然获胜。

n = 100000;          % n 代表蒙特卡罗模拟重复次数
a = 0;               % a 表示不改变主意时能赢得汽车的次数
b = 0;               % b 表示改变主意时能赢得汽车的次数
c = 0;               % c 表示没有获奖的次数for i = 1:n          % 开始模拟 n 次x = randi([1,3]); % 汽车在门 x 后y = randi([1,3]); % 参赛者最初选的 ychange = randi([0,1]); % 0 不改变，1 改变if x == y% 初始门就是汽车门if change == 0a = a + 1;   % 不改变则赢elsec = c + 1;   % 改变则输endelse% 初始门不是汽车门if change == 1b = b + 1;   % 改变则赢elsec = c + 1;   % 不改变则输endend
enddisp(['不改变主意时的获奖概率：', num2str(a/n)]);
disp(['改变主意时的获奖概率：',   num2str(b/n)]);
disp(['未获奖的概率：',           num2str(c/n)]);

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