数据结构基础内容（第六篇：二叉搜索与平衡二叉树）
# 二叉搜索树 Binary Search Tree
1. 非空左子树所有键值小于根节点的键值
2. 非空右子树所有键值大于根节点的键值
3. 左右子树都是二叉搜索树
操作的函数:
1. Position Find( ElementType X, BinTree BST ):从二叉搜索树BST 中查找元素X，返回其所在结点的地址;
2. Position FindMin( BinTree BST ):从二叉搜索树BST中查找并返回 最小元素所在结点的地址;
3. Position FindMax( BinTree BST ) :从二叉搜索树BST中查找并返回 最大元素所在结点的地址。
4. BinTree Insert( ElementType X, BinTree BST ) 插入
5. BinTree Delete( ElementType X, BinTree BST ) 删除
## 查找
递归实现
```c
Position Find( ElementType X, BinTree BST ) {
if( !BST ) return NULL; /*查找失败*/
if( X > BST->Data )
return Find( X, BST->Right ); /*在右子树中继续查找*/
Else if( X < BST->Data )
return Find( X, BST->Left ); /*在左子树中继续查找*/
else
/* X == BST->Data */
return BST; /*查找成功，返回结点的找到结点的地址*/
}
```
迭代实现
```c
Position IterFind( ElementType X, BinTree BST ) {
while( BST )
{
if( X > BST->Data )
BST = BST->Right; /*向右子树中移动，继续查找*/
else if( X < BST->Data )
BST = BST->Left; /*向左子树中移动，继续查找*/
else /* X == BST->Data */
return BST; /*查找成功，返回结点的找到结点的地址*/
}
return NULL; /*查找失败*/
}
```
## 返回最大值/最小值
最大元素一定在最右分支的端点上
```c
Position FindMax( BinTree BST )
{
if(BST ) // 结点不空
{
while( BST->Right ) // 右儿子不空
BST = BST->Right; // 则往右
}
return BST;
}
```
最小元素在最左段上
递归法:
```c
Position FindMin( BinTree BST )
{
if( !BST ) return NULL;/*空的二叉搜索树，返回NULL*/
else if( !BST->Left )
return BST; /*找到最左叶结点并返回*/
else
return FindMin( BST->Left ); /*沿左分支继续查找*/
```
## 插入
```c
BinTree Insert( ElementType X, BinTree BST ) {
if( !BST ) /*若原树为空，生成并返回一个结点的二叉搜索树*/
{
BST = malloc(sizeof(struct TreeNode));
BST->Data = X;
BST->Left = BST->Right = NULL;
}
else /*开始找要插入元素的位置*/
{
if( X < BST->Data )
BST->Left = Insert( X, BST->Left); /*递归插入左子树*/
else if( X > BST->Data )
BST->Right = Insert( X, BST->Right); /*递归插入右子树*/
/* else X已经存在，什么都不做 */
}
return BST;
}
```
## 删除
1. 删除的是叶结点
2. 删除的只有一个孩子的结点
3. 要删除的结点右左右两棵子树,则:
* 右子树最小元素替代
* 左子树最大元素替代
实现
```c
BinTree Delete( BinTree BST, ElementType X )
{
Position Tmp;
if( !BST )
printf("要删除的元素未找到");
else {
if( X < BST->Data )
BST->Left = Delete( BST->Left, X ); /* 从左子树递归删除 */
else if( X > BST->Data )
BST->Right = Delete( BST->Right, X ); /* 从右子树递归删除 */
else { /* BST就是要删除的结点 */
/* 如果被删除结点有左右两个子结点 */
if( BST->Left && BST->Right ) {
/* 从右子树中找最小的元素填充删除结点 */
Tmp = FindMin( BST->Right );
BST->Data = Tmp->Data;
/* 从右子树中删除最小元素 */
BST->Right = Delete( BST->Right, BST->Data );
}
else { /* 被删除结点有一个或无子结点 */
Tmp = BST;
if( !BST->Left ) /* 只有右孩子或无子结点 */
BST = BST->Right;
else /* 只有左孩子 */
BST = BST->Left;
free( Tmp );
}
}
}
return BST;
}
```
# 平衡二叉树 Balanced Binary Tree
平均查找长度ASL
平衡因子(Balance Factor，简称BF): BF(T) = hL-hR，
|BF(T)| <= 1
平衡二叉树的高度
n_h: 高度为h的平衡二叉树最少结点数
n_h = n_h-1 + n_h-2 + 1
= F_h+2 - 1
给定结点数为 n的AVL树的 最大高度为O(log2n)!
## 调整
平衡二叉树是搜索树
右单旋
麻烦结点在发现者(被破坏者)的右子树的右子树上,因而RR插入,需要RR旋转
左单旋
麻烦结点在发现者(被破坏者)的左子树的左子树上,因而LL旋转
左右旋转
麻烦结点在发现者(被破坏者)的左子树的右子树上, LR旋转
习题: 是否同一颗二叉搜索树
1. 根据两个序列分别建树，再判别树是否一样
2. 不建树的判别方法
3. 建一棵树，再判别其他序列是否与该树一致