【基础完全搜索】USACO Bronze 2020 December - 雏菊链Daisy Chains

题目描述

每天散步时，小母牛 Bessie 都会去她最喜欢的牧场转一圈。

牧场上有 $N$ 朵花，这些花是一排五彩缤纷的雏菊，编号为 $1$ 到 $N$，第 $i$ 朵花有 $p_i$ 个花瓣。

Bessie 是一位正在学习摄影的摄影师。她决定拍摄很多花朵的照片。具体来说，对于每一对 $(i,j)$ 满足 $1\le i\le j\le N$，Bessie 都会拍摄从第 $i$ 朵花到第 $j$ 朵花（包含两端）的一张照片。

拍完照之后，Bessie 发现有些照片中存在所谓的 “平均花” —— 即：照片中存在一朵花，其花瓣数恰好等于这张照片中所有花的平均花瓣数。

请你计算：Bessie 总共拍摄了多少张包含“平均花”的照片？

输入格式

输入共两行：

• 第一行一个整数 $N$（$1\le N\le 100$），表示花朵的数量。
• 第二行 $N$ 个整数 $p_1,p_2,\dots ,p_N$（$1\le p_i\le 1000$），表示每朵花的花瓣数。

输出格式

输出一个整数，表示包含“平均花”的照片总数。

样例输入

4
1 1 2 3

样例输出

6

样例解释

所有单独一朵花的照片一定满足条件（有 $4$ 张）。

另外还有：

• $(1,2)$：花瓣为 $[1,1]$，平均值为 $1$，包含一朵等于平均值的花（两朵都是）
• $(2,4)$：花瓣为 $[1,2,3]$，平均值为 $2$，包含一朵正好为 $2$ 的花

因此总共有 6 张照片满足条件。

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Daisy Chains

思路分析

🧠 算法思路概览

1. 使用前缀和数组快速计算任意区间 $[i,j]$ 的花瓣总数；

2. 枚举所有 $[i,j]$ 区间；

3. 对于每个区间，计算其平均花瓣数；

4. 在区间中检查是否有花瓣数正好等于平均值；

5. 如果存在，计数器加一。

vector<int> p(n + 1), sum(n + 1);
for (int i = 1; i <= n; i++)
{cin >> p[i];sum[i] = sum[i - 1] + p[i]; // 前缀和数组
}

定义两个数组：

1. $p[i]$：表示第 $i$ 朵花的花瓣数；

2. sum[i]：p[1] + p[2] + ... + p[i] 的前缀和，用于快速计算区间和。

这样，我们可以在 $O(1)$ 时间内求任意区间 $[i,j]$ 的总和为 sum[j] - sum[i - 1]。

for (int i = 1; i <= n; i++)for (int j = i; j <= n; j++)

枚举所有区间 $[i,j]$，总共 $O(n^2)$ 个区间。

double ave = (sum[j] - sum[i - 1]) * 1.0 / (j - i + 1); //[i,j]范围的平均值

计算区间 $[i,j]$ 的平均值。总和是：sum[j] - sum[i - 1]，区间长度是：j - i + 1

bool check = false;
for (int k = i; k <= j; k++)
{if (p[k] == ave)check = true;
}

遍历区间 $[i,j]$ 内的每一朵花：检查是否有某一朵花的花瓣数刚好等于平均值。

如果找到了，就将 $check$ 设为 $true$。

⏱️ 时间复杂度分析

• 外层两重循环 $O(n^2)$；

• 内层判断 $O(n)$；

• 总复杂度：$O(n^3)$，但实际最多 100 × 100 × 100 = $10^6$，可以接受。

参考代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main()
{int n;cin >> n;vector<int>p(n + 1) , sum(n + 1);for(int i = 1; i <= n; i++){cin >> p[i];sum[i] = sum[i - 1] + p[i];  //前缀和数组}int cnt = 0;//枚举(i,j)区间的所有可能的情况for(int i = 1; i <= n; i++){for(int j = i; j <= n; j++){double ave = (sum[j] - sum[i - 1]) * 1.0 / (j - i + 1);  //[i,j]范围的平均值bool check = false;for(int k = i; k <= j; k++){if(p[k] == ave)check = true;}cnt += check;}}cout << cnt;return 0;
}