【AcWing 143题解】最大异或对

AcWing 143. 最大异或对
【题目描述】

在查看解析之前，先给自己一点时间思考哦！

【题解】
本题要求给定一个整数序列，找出其中任意两个数进行异或运算后，结果的最大值是多少。由于数据规模较大，我们不能简单地通过两层循环直接遍历所有组合，这样的时间复杂度会达到$O(n^2)$，超出了时间限制。
我们可以利用Trie树来高效解决这个问题。通过使用前缀树，我们能够将每个整数拆分成二进制形式，按照其二进制位插入树中，然后在查询时可以通过比较来找到最大可能的异或值。

关键点：
异或性质：我们要最大化的是两个数的异或值，而异或的性质决定了异或值越大，二者的对应位越不相同。因此，在查询时，我们会尽量选择不同的位进行匹配。
Trie 树结构：每个节点代表一个二进制位（0 或 1）。从根节点开始，每个数按位插入，如果当前数的某一位是 1，那么它就沿着该位的路径插入树中。
查询最大异或值：当我们要查询一个数的最大异或值时，从当前数的二进制表示的每一位开始，尽量沿着与当前位不同的路径走。

实现步骤：
将每个数的二进制位逐位插入到 Trie 树中。
在插入每个数的同时，查询当前数和 Trie 树中已有数的最大异或值，并更新最大异或值。
【参考代码】

#include <iostream>
using namespace std;// 最大节点数和最大Trie树的容量
const int N = 1e5 + 10, M = 31 * N;  
// son[i][0/1] 表示节点 i 的左/右子节点，a 存储输入的数，idx 用来给每个节点编号
int son[M][2], a[N], idx;  // 插入一个数到 Trie 树
void insert(int x) {int p = 0;// 从高位到低位插入数的二进制位for(int i = 30; i >= 0; i--) {int u = x >> i & 1;  // 获取当前二进制位if(!son[p][u])  // 如果该路径没有节点，则创建新节点son[p][u] = ++idx;p = son[p][u];  // 移动到下一个节点}
}// 查询当前数与树中已有数的最大异或值
int query(int x) {int p = 0, res = 0;  // p 为当前节点，res 为当前异或结果// 从高位到低位查询最大异或值for(int i = 30; i >= 0; i--) {int u = x >> i & 1;  // 获取当前二进制位// 尝试选择与当前位不同的路径，以得到更大的异或值if(son[p][!u]) {p = son[p][!u];res = res * 2 + !u;} else {p = son[p][u];res = res * 2 + u;}}return res; 
}int main() {int n;cin >> n;  for(int i = 0; i < n; i++)cin >> a[i];  int res = 0;  // 用来存储最大异或值for(int i = 0; i < n; i++) {insert(a[i]);  // 将当前数插入到 Trie 树int t = query(a[i]);  // 查询当前数的最大异或值res = max(res, a[i] ^ t);  // 更新最大异或值}cout << res << endl;  return 0;
}