【OD机试】矩阵匹配

题目描述

从一个 N * M（N ≤ M）的矩阵中选出 N 个数，任意两个数字不能在同一行或同一列，求选出来的 N 个数中第 K 大的数字的最小值是多少。

输入描述：

输入矩阵要求：1 ≤ K ≤ N ≤ M ≤ 150

输入格式：

N M K

N*M矩阵

输出描述：

N*M 的矩阵中可以选出 M! / N! 种组合数组，每个组合数组种第 K 大的数中的最小值。无需考虑重复数字，直接取字典排序结果即可。

备注：

注意：结果是第 K 大的数字的最小值

示例1：

输入：

3 4 2
1 5 6 6
8 3 4 3
6 8 6 3
输出：

3

说明：

N*M的矩阵中可以选出 M！/ N！种组合数组，每个组合数组种第 K 大的数中的最小值；

上述输入中选出数组组合为：

1,3,6;

1,3,3;

1,4,8;

1,4,3;

......

上述输入样例中选出的组合数组有24种，最小数组为1,3,3，则第2大的最小值为3

题解

根据要求，每行每列只能有一个元素被选择，即可以认为每个行号只能和一个列号进行配对，且配对过的列号不能再和其他行号配对，而形成了配对关系的行号，列号，其实就是一个元素的坐标位置。

因此，找N个互相不同行同列的元素，其实就是在二分图（所有行号一部分，所有列号一部分）找N个边的匹配。

如下图所示

关于二分图的知识可以看下：

HDU - 2063 过山车（Java & JS & Python & C）-CSDN博客

题目需要我们多组N个元素中的第K大元素的最小取值，

换位思考一下，假设我们已经知道了第K大的最小取值是kth，那么：

• 检查矩阵中是否至多找到（N - K + 1 个） ≤ kth 的元素值，且这些元素值互不同行同列

N个数中，有K-1个数比kth大，那么相对应的有 (N - (K-1)) = (N - K + 1 ) 个数 ≤ kth。

即找的 N - K + 1 个数中包含了 kth（第K大值）本身。

而kth的大小和二分图最大匹配是正相关的，因为：

每个匹配边 其实就是 行号到列号的配对连线

而行号和列号的组合其实就是坐标位置，根据坐标位置可以得到一个矩阵元素值

因此kth越小，意味着可以找到的 ≤ kth 的矩阵元素越少，相反的，kth 越大，则找到的 ≤ kth 的矩阵元素越多。

因此kth值大小和二分图最大匹配数是线性关系，我们可以使用二分法，来枚举kth。

二分枚举的范围是：1 ~ 矩阵元素最大值，这里不用担心二分枚举到kth不是矩阵元素，因为这种情况会被过滤掉，原因是：我们要找 N - K + 1 个 <= kth 的矩阵元素，最后把关的必然是 kth 本身，即我们必然要在矩阵中找到一个 kth 值，如果二分枚举到的 kth 不是矩阵元素，则无法满足这个要求。

二分枚举到一个kth值：

• 如果kth使得二分图最大匹配 >= N-K+1 个，则说明当前kth取大了，我们应该尝试更小的kth值，即缩小二分右边界为kth-1
• 如果kth使得二分图最大匹配 < N-K+1 个，则说明当前kth取小了，我们应该继续尝试更大的kth值，即扩大二分左边界为kth+1

当二分左右边界重合时的kth值即为题解。

import java.util.Arrays;
import java.util.Scanner;public class Main {static int n;static int m;static int k;static int[][] matrix;public static void main(String[] args) {Scanner sc = new Scanner(System.in);n = sc.nextInt();m = sc.nextInt();k = sc.nextInt();int min = 1;int max = Integer.MIN_VALUE;matrix = new int[n][m];for (int i = 0; i < n; i++) {for (int j = 0; j < m; j++) {matrix[i][j] = sc.nextInt();max = Math.max(max, matrix[i][j]);}}// 二分枚举第K大值while (min <= max) {// mid就是被枚举出来的N个数中的第K大值int mid = (min + max) >> 1;// 检查mid作为N个数中第K大值时，是否存在N-K+1个不大于它的值if (check(mid)) {max = mid - 1;} else {min = mid + 1;}}System.out.println(min);}public static boolean check(int kth) {// 利用二分图最大匹配来求解，小于等于kth（第K大值）的元素个数（即二分图最大匹配）int smallerCount = 0;// 记录每个列号的匹配成功的行号int[] match = new int[m];// 初始时每个列号都处于未配对状态，此时将列号配对的行号赋值为-1Arrays.fill(match, -1);// 遍历行号，每个行号对互相心仪的列号发起配对请求for (int i = 0; i < n; i++) {// 记录增广路访问过的列号boolean[] vis = new boolean[m];if (dfs(i, kth, match, vis)) smallerCount++;}return smallerCount >= n - k + 1;}public static boolean dfs(int i, int kth, int[] match, boolean[] vis) {// 行号 i 发起了配对请求// 遍历每一个列号jfor (int j = 0; j < m; j++) {// 如果当前列号j未被增广路探索过 && 当前列j行i可以配对（如果行列号位置(i,j)对应矩阵元素值小于等于kth（第K大值），则可以配对）if (!vis[j] && matrix[i][j] <= kth) {vis[j] = true;// 如果对应列号j未配对，或者，已配对但是配对的行号match[j]可以找到其他列号重新配对if (match[j] == -1 || dfs(match[j], kth, match, vis)) {// 则当前行号i 和 列号j 可以配对match[j] = i;return true;}}}return false;}
}