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CSP-J系列【2023】P9750 [CSP-J 2023] 一元二次方程题解

news 2025/7/26 1:31:01

题目背景

众所周知，对一元二次方程 ax2+bx+c=0(a=0)，可以用以下方式求实数解：

计算 Δ=b2−4ac，则:
1. 若 Δ<0，则该一元二次方程无实数解。
2. 否则 Δ≥0，此时该一元二次方程有两个实数解 x1,2=2a−b±Δ。

例如：

x2+x+1=0 无实数解，因为 Δ=12−4×1×1=−3<0。
x2−2x+1=0 有两相等实数解 x1,2=1。
x2−3x+2=0 有两互异实数解 x1=1,x2=2。

在题面描述中 a 和 b 的最大公因数使用 gcd(a,b) 表示。例如 12 和 18 的最大公因数是 6，即 gcd(12,18)=6。

题目描述

现在给定一个一元二次方程的系数 a,b,c，其中 a,b,c 均为整数且 a=0。你需要判断一元二次方程 ax2+bx+c=0 是否有实数解，并按要求的格式输出。

在本题中输出有理数 v 时须遵循以下规则：

由有理数的定义，存在唯一的两个整数 p 和 q，满足 q>0，gcd(p,q)=1 且 v=qp。
若 q=1，则输出 {p}，否则输出 {p}/{q}，其中 {n} 代表整数 n 的值；
例如：
- 当 v=−0.5 时，p 和 q 的值分别为 −1 和 2，则应输出 -1/2；
- 当 v=0 时，p 和 q 的值分别为 0 和 1，则应输出 0。

对于方程的求解，分两种情况讨论：

若 Δ=b2−4ac<0，则表明方程无实数解，此时你应当输出 NO；
否则 Δ≥0，此时方程有两解（可能相等），记其中较大者为 x，则：
1. 若 x 为有理数，则按有理数的格式输出 x。
2. 否则根据上文公式，x 可以被唯一表示为 x=q1+q2r 的形式，其中：
  - q1,q2 为有理数，且 q2>0；
  - r 为正整数且 r>1，且不存在正整数 d>1 使 d2∣r（即 r 不应是 d2 的倍数）；
此时：
1. 若 q1=0，则按有理数的格式输出 q1，并再输出一个加号 +；
2. 否则跳过这一步输出；
随后：
1. 若 q2=1，则输出 sqrt({r})；
2. 否则若 q2 为整数，则输出 {q2}*sqrt({r})；
3. 否则若 q3=q21 为整数，则输出 sqrt({r})/{q3}；
4. 否则可以证明存在唯一整数 c,d 满足 c,d>1,gcd(c,d)=1 且 q2=dc，此时输出 {c}*sqrt({r})/{d}；
上述表示中 {n} 代表整数 {n} 的值，详见样例。
如果方程有实数解，则按要求的格式输出两个实数解中的较大者。否则若方程没有实数解，则输出 NO。

输入格式

输入的第一行包含两个正整数 T,M，分别表示方程数和系数的绝对值上限。

接下来 T 行，每行包含三个整数 a,b,c。

输出格式

输出 T 行，每行包含一个字符串，表示对应询问的答案，格式如题面所述。

每行输出的字符串中间不应包含任何空格。

输入输出样例

输入 #1复制

输出 #1复制

1
NO
1
-1
-1/2
12*sqrt(3)
3/2+sqrt(5)/2
1+sqrt(2)/2
-7/2+3*sqrt(5)/2

说明/提示

【样例 #2】

见附件中的 uqe/uqe2.in 与 uqe/uqe2.ans。

【数据范围】

对于所有数据有：1≤T≤5000，1≤M≤103，∣a∣,∣b∣,∣c∣≤M，a=0。

测试点编号	M≤	特殊性质 A	特殊性质 B	特殊性质 C
1	1	是	是	是
2	20	否	否	否
3	103	是	否	是
4	103	是	否	否
5	103	否	是	是
6	103	否	是	否
7,8	103	否	否	是
9,10	103	否	否	否

其中：

特殊性质 A：保证 b=0；
特殊性质 B：保证 c=0；
特殊性质 C：如果方程有解，那么方程的两个解都是整数。

题目概述

一元二次方程是初中数学的核心内容，也是CSP-J竞赛中的常见题型。题目要求我们编写程序解标准形式的一元二次方程ax²+bx+c=0，并按照特定格式输出结果。本题考察了对数学公式的理解和编程实现能力。

数学原理回顾

一元二次方程的解由判别式Δ=b²-4ac决定：

当Δ>0时，方程有两个不同的实数根
当Δ=0时，方程有一个实数重根
当Δ<0时，方程无实数解

求根公式为：x = [-b±√(Δ)]/(2a)

解法一：直接计算法

#include <iostream>
#include <cmath>
#include <iomanip>
using namespace std;void solve(int a, int b, int c) {int delta = b*b - 4*a*c;if(delta < 0) {cout << "NO\n";return;}double sqrt_delta = sqrt(delta);double x1 = (-b + sqrt_delta) / (2.0*a);double x2 = (-b - sqrt_delta) / (2.0*a);if(delta == 0) {cout << fixed << setprecision(2) << x1 << "\n";} else {if(x1 < x2) swap(x1, x2);cout << fixed << setprecision(2) << x2 << " " << x1 << "\n";}
}int main() {int T, a, b, c;cin >> T;while(T--) {cin >> a >> b >> c;solve(a, b, c);}return 0;
}

解法二：优化计算法

#include <iostream>
#include <cmath>
#include <iomanip>
using namespace std;void solve(int a, int b, int c) {int delta = b*b - 4*a*c;if(delta < 0) {cout << "NO\n";return;}double root = -b/(2.0*a);if(delta == 0) {cout << fixed << setprecision(2) << root << "\n";} else {double offset = sqrt(delta)/(2.0*a);cout << fixed << setprecision(2) << root-offset << " " << root+offset << "\n";}
}int main() {int T, a, b, c;cin >> T;while(T--) {cin >> a >> b >> c;solve(a, b, c);}return 0;
}

优化法先计算中间值减少重复运算，提高精度和效率。