算法笔记之归并排序

本系列可作为算法学习系列的笔记，小编会将代码记录下来，大家复制下来就可以练习了，方便大家学习。小编作为新晋码农一枚，会定期整理一些写的比较好的代码，作为自己的学习笔记，会试着做一下批注和补充，如转载或者参考他人文献会标明出处，非商用，如有侵权会删改！欢迎大家斧正和讨论！

系列文章目录 

计算矩阵的鞍点个数

算法-比较排序

为什么比较排序算法的时间复杂度下界是 Ω(n log n)？ 

算法笔记之堆排序 

算法笔记之归并排序

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目录

系列文章目录 

​​1. 算法步骤​​

​​2. 示例​​

​​3. 伪代码​​

​​4. 时间复杂度​​

​​5. 稳定性​​

（1）​​稳定排序（Stable Sorting）​​

​​①. 为什么稳定性重要？​​

②. 稳定排序的判定示例​​

③. 常见稳定排序算法​​

④. 不稳定排序算法举例​​

⑤. 如何验证稳定性？​​

⑥. 实际应用场景​​

​​6. 优缺点​​

​​7. 应用场景​​

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 归并排序（Merge Sort）是一种基于​​分治法​​（Divide and Conquer）的高效排序算法，其核心思想是将数组递归地分成两半，分别排序后再合并。以下是其详细步骤和特性分析：

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​​1. 算法步骤​​

1. ​​分解（Divide）​​

   • 将当前数组从中间分成两个子数组，直到每个子数组只剩一个元素（此时自然有序）。

2. ​​解决（Conquer）​​

   • 递归地对左右子数组进行归并排序。

3. ​​合并（Merge）​​

   • 将两个已排序的子数组合并为一个有序数组：
     • 创建一个临时数组，依次比较两个子数组的首元素，将较小者放入临时数组。
     • 将剩余未合并的元素直接追加到临时数组末尾。
     • 将临时数组拷贝回原数组的对应位置。

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​​2. 示例​​

​​原始数组​​：[38, 27, 43, 3, 9, 82, 10]
​​分解过程​​：

[38, 27, 43, 3] 和 [9, 82, 10]  
→ [38, 27], [43, 3], [9, 82], [10]  
→ [38], [27], [43], [3], [9], [82], [10]（单元素数组已有序）

​​合并过程​​：

• 合并 [38] 和 [27] → [27, 38]
• 合并 [43] 和 [3] → [3, 43]
• 合并 [27, 38] 和 [3, 43] → [3, 27, 38, 43]
• 同理，右侧合并为 [9, 10, 82]
• 最终合并为 [3, 9, 10, 27, 38, 43, 82]

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​​3. 伪代码​​

def merge_sort(arr):if len(arr) > 1:mid = len(arr) // 2left = arr[:mid]right = arr[mid:]merge_sort(left)   # 递归排序左半部分merge_sort(right)  # 递归排序右半部分# 合并i = j = k = 0while i < len(left) and j < len(right):if left[i] < right[j]:arr[k] = left[i]i += 1else:arr[k] = right[j]j += 1k += 1# 处理剩余元素while i < len(left):arr[k] = left[i]i += 1k += 1while j < len(right):arr[k] = right[j]j += 1k += 1

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​​4. 时间复杂度​​

• ​​最优/最差/平均​​：均为 ​​O(n log n)​​

  • 分解：每次将数组分成两半，共 log n 层递归。
  • 合并：每层需 O(n) 时间遍历所有元素。

• ​​空间复杂度​​：O(n)

  • 需要额外临时数组存储合并结果（递归栈空间为 O(log n)）。

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​​5. 稳定性​​

归并排序是​​稳定排序​​，因为合并时遇到相等元素会优先保留左子数组的元素（通过 left[i] < right[j] 的条件保证）。

补充：

（1）​​稳定排序（Stable Sorting）​​

​​稳定排序​​是指排序算法在排序前后，​​相等元素的相对顺序保持不变​​。换句话说，如果两个元素的值相同，排序后它们的先后顺序与排序前的原始顺序一致。

​​①. 为什么稳定性重要？​​

• ​​多条件排序​​：例如，先按年龄排序，再按姓名排序。如果排序算法是稳定的，相同年龄的人会保持姓名的原始顺序。
• ​​数据完整性​​：某些场景要求保留原始数据的相对顺序（如日志记录、交易记录等）。

②. 稳定排序的判定示例​​

​​原始数组​​：[ (3, "A"), (2, "B"), (3, "C"), (1, "D") ]（每个元素是一个 (数字, 字母) 对）
​​按数字排序后​​：

• ​​稳定排序结果​​：[ (1, "D"), (2, "B"), (3, "A"), (3, "C") ]
  • 两个 3 的顺序保持原始顺序（"A" 仍在 "C" 前面）。
• ​​不稳定排序结果​​：[ (1, "D"), (2, "B"), (3, "C"), (3, "A") ]
  • 两个 3 的顺序被颠倒（"C" 跑到了 "A" 前面）。

③. 常见稳定排序算法​​

算法	时间复杂度	空间复杂度	稳定性
归并排序	O(n log n)	O(n)	✔️ 稳定
冒泡排序	O(n²)	O(1)	✔️ 稳定
插入排序	O(n²)	O(1)	✔️ 稳定
计数排序	O(n + k)	O(n + k)	✔️ 稳定
基数排序	O(d(n + k))	O(n + k)	✔️ 稳定

④. 不稳定排序算法举例​​

• ​​快速排序​​（Quick Sort）：分区过程中可能交换相等元素。
• ​​堆排序​​（Heap Sort）：堆的调整会破坏相等元素的顺序。
• ​​选择排序​​（Selection Sort）：交换非相邻元素可能导致顺序颠倒。

⑤. 如何验证稳定性？​​

1. 构造一个包含重复键值的数据集（如 [ (2, "X"), (1, "Y"), (2, "Z") ]）。
2. 排序后检查相同键值的元素是否保持原始顺序（"X" 是否仍在 "Z" 前面）。

⑥. 实际应用场景​​

• ​​数据库排序​​：ORDER BY 多列时需保持稳定性。
• ​​图形渲染​​：按深度排序后，相同深度的物体需保持绘制顺序。
• ​​版本控制​​：按时间戳排序时，相同时间的提交需保留原始提交顺序。

​​6. 优缺点​​

• ​​优点​​：
  • 时间复杂度稳定为 O(n log n)，适合大规模数据。
  • 适用于链表排序（无需随机访问）。
• ​​缺点​​：
  • 需要额外空间，不适合内存受限的场景。
  • 对小规模数据可能不如插入排序高效（可结合其他算法优化）。

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​​7. 应用场景​​

• 需要稳定排序的场景（如数据库排序）。
• 外部排序（如大文件处理，因归并排序可分段加载数据）。

归并排序通过分治策略将问题分解为更小的子问题，是理解递归和分治思想的经典案例。