洛谷 P10112 [GESP202312 八级] 奖品分配-普及/提高-

题目描述

班上有 $N$ 名同学，学号从 $0$ 到 $N-1$。有 $M$ 种奖品要分给这些同学，其中，第 $i$ 种奖品总共有 $a_i$ 个 （$i=0,1,\cdots ,M-1$）。

巧合的是，奖品的数量不多不少，每位同学都可以恰好分到一个奖品，且最后剩余的奖品不超过 $1$ 个（即：$N\le a_0+a_1+\cdots +a_{M-1}\le N+1$）。

现在，请你求出每个班级礼物分配的方案数，所谓方案，指的是为每位同学都分配一个种类的奖品。

只要有一位同学获得了不同种类的奖品，即视为不同的方案。方便起见，你只需要输出方案数对 $10^9+7$ 取模后的结果即可。

共有 $T$ 个班级都面临着奖品分配的问题，你需要依次为他们解答。

输入格式

第一行一个整数 $T$，表示班级数量。

接下来 $T$ 行，每行若干用单个空格隔开的正整数。首先是两个正整数$N,M$，接着是 $M$ 个正整数 $a_0,a_1...a_{M-1}$。保证 $N \le a_0+a_1+\cdots+a_{M-1} \le N+1 $。

输出格式

输出 $T$ 行，每行一个整数，表示该班级分配奖品的方案数对 $10^9+7$ 取模的结果。

输入输出样例 #1

输入 #1

3
3 2 1 2
3 2 1 3
5 3 1 3 1

输出 #1

3
4
20

输入输出样例 #2

输入 #2

5
100 1 100
100 1 101
20 2 12 8
123 4 80 20 21 3
999 5 101 234 499 66 99

输出 #2

1
1
125970
895031741
307187590

说明/提示

样例解释 1

对于第 $1$ 个班级，学号为 $0,1,2$ 的同学可以依次分别获得奖品 $0,1,1$，也可以依次分别获得奖品 $1,0,1$，也可以依次分别获得奖品 $1,1,0$ ，因此共有 $3$ 种方案。

对于第 $2$ 个班级，学号为 $0,1,2$ 的同学可以依次分别获得奖品 $0,1,1$ ，也可以依次分别获得奖品 $1,0,1$，也可以依次分别获得奖品 $1,1,0$，也可以依次分别获得奖品 $1,1,1$，因此共有 $4$ 种方案。

对于第 $3$ 个班级，可以把编号为 $0$ 的奖品分配给 $5$ 名同学中的任意一名，共有 $5$ 种方案；再把编号为 $2$ 的奖品分配给剩余 $4$ 名同学中的任意一名，共有$4$ 种方案；最后给剩余 $3$ 名同学自然获得 $1$ 号奖品。因此，方案数为 $5\times 4=20$。

数据范围

对于 $30\%$ 的测试点，保证 $N\le 10$。

对于另外 $30\%$ 的测试点，保证 $M=2$。

对于所有测试点，保证 $N\le 1000$；保证 $T\le 1000$ ；保证 $M\le 1001$。

solution

如果 m 种奖品一共有 n 件，则是一个分组问题，即
$$s=\frac{A_n^n}{{\sum }_{i=1}^m{A}_{a_i}^{a_i}}$$
如果 m 种奖品一共有 n + 1 件，假设另有一个小朋友 X 和他们一起分奖品，则和上面一样
$$s=\frac{A_{n+1}^{n+1}}{{\sum }_{i=1}^m{A}_{a_i}^{a_i}}$$，但是用到了除法，对于模运算来说，需要求乘法逆元。当然可以规避则个问题，即用组合数表示即可。

代码

#include <iostream>
#include "bit"
#include "vector"
#include "unordered_set"
#include "set"
#include "queue"
#include "stack"
#include "algorithm"
#include "bitset"
#include "cstring"using namespace std;long long f[1002], g[1002], p = 1e9 + 7;int k, n, m, x;void init(int N) {f[1] = 1;for (int i = 2; i <= N; i++)f[i] = f[i - 1] * i % p;long long a = p - 2, t = f[N];g[N] = 1;while (a) {if (a & 1) {g[N] = g[N] * t % p;}t = t * t % p;a >>= 1;}for (int i = N - 1; i >= 1; i--)g[i] = g[i + 1] * (i + 1) % p;
}int main() {cin >> k;init(1001);while (k--) {cin >> n >> m;long long ans = 1, sum = 0;for (int i = 0; i < m; i++) {cin >> x;sum += x;ans = ans * g[x] % p;}ans = ans * f[sum] % p;cout << ans << endl;}
}

结果