PID 算法的原理与应用 (通俗易懂)

PID简介

PID 基本概念解析

1. 名称含义
   PID 是比例（Proportion）、积分（Integral）、微分（Derivative） 三个英文单词的缩写，因此 PID 控制即比例、积分、微分控制。
   • 无需深入掌握微积分知识，仅需理解其浅显概念即可。
2. 核心任务（两种等价描述）
   • 作为闭环控制算法：动态改变施加到被控对象的输出值，使被控对象某一物理量的实际值快速、准确、稳定地跟踪目标值（如电机定速旋转，无论负载变化，转速始终稳定在目标值）。
   • 作为基于误差调控的算法：定义误差 = 目标值 - 实际值，任务是使误差始终为 0（本质与上一描述一致，即实际值 = 目标值）。
3. 应用优势
   • 对被控对象模型要求低，无需建模，即使内部运作规律不明确也能调控，应用简单。
   • 虽无法应对特别复杂的系统，但在多数场景效果优异，学习性价比高。

开环与闭环控制（理解 PID 的基础）

1. 开环控制

• 特点：控制器仅单向输出值给被控对象，不获取反馈，无法知晓被控对象的实际执行状态。
• 局限：只能控制物理量的大致变化趋势（如 “输出越大，速度越快”），无法精准控制具体值，也不能根据负载、环境等变化动态调整输出（例如 PWM 驱动电机时，相同占空比可能因负载变化导致转速不同）。
• 示例：家用风扇的档位调速（只需 “档位越高转越快”，无需精确转速）。

2. 闭环控制

• 特点：控制器输出值的同时，通过传感器获取被控对象的实际值反馈，形成闭合环路，可根据反馈动态修改输出值以优化控制。
• 优势：能实现高精度控制，确保实际值稳定跟踪目标值。
• 示例
  • 电机控速（通过编码器反馈转速，动态调整 PWM 占空比）；
  • 锅炉温控（温度传感器反馈实际温度，调整燃料供给）；
  • 汽车自动驾驶（摄像头反馈车道位置，调整方向盘角度）；
  • 火箭姿态控制（姿态传感器反馈角度，调整发动机喷射方向）。

PID 算法原理与公式

PID 输出值计算公式：
$$\text{Output}(t)=K_p\times \text{error}(t)+K_i\times {\int }_0^t\text{error}(\tau )d\tau +K_d\times \frac{d(\text{error}(t))}{dt}$$

• 变量说明:
  • error(t)：误差（目标值 - 实际值，随时间变化）；
  • Kp：比例系数，Ki：积分系数，Kd：微分系数（需根据需求调节的核心参数）；
  • 三项分别对应比例项（P）、积分项（I）、微分项（D），最终输出为三项之和。

2. 公式本质

• 非严格推导的物理定律，而是经验公式，类似“水多了加面，面多了加水”的生活逻辑，通过实践验证有效。

比例项（P）

核心原理与作用

• 调节逻辑：比例项输出与当前误差（error）成正比，公式为 P = KP × error。error = 目标值 - 实际值
  • 当实际值低于目标值（误差为正），输出正向调控力；实际值高于目标值（误差为负），输出反向调控力，实现负反馈。
  • KP 的影响
    • KP 越大，调控力度越强，系统响应越快，但超调量（实际值超过目标值的幅度）也越大，甚至可能导致系统自激震荡（不稳定）。
    • KP 越小，响应越慢，但超调量小。
• 关键结论：比例项仅根据当前误差实时调节，无误差时输出为 0；需通过调试确定合适的 KP 值，平衡响应速度与稳定性。

由图中可以看到：设置值为100，KP 比例参数设置为0.25, 0.5，0.75，1。查看输出图像，发现kp越小，一开始的增长速度越慢，kp越大，稳态误差越小，响应越快，但是可以会发生超调。

稳态误差

• 定义：纯比例项控制时，系统达到稳态后，实际值与目标值始终存在稳定差值（如电机控速中实际速度始终低于目标值）。
• 产生原因：
  • 被控对象存在 “自发偏移力”（如电机的摩擦力）。当误差为 0 时，比例项输出为 0（无驱动力），但自发偏移力会导致实际值偏离目标值，产生新误差；直到比例项输出的调控力与自发偏移力平衡，系统稳定，此时的差值即为稳态误差。
  • 例：电机无持续驱动力时会因摩擦力减速，误差增大→比例项输出增大→驱动力与摩擦力平衡→稳态误差固定。
• 特性：
  • KP 越大，稳态误差越小（调控力更强，更接近平衡），但无法通过无限增大 KP 消除误差（会导致超调或震荡）。

🌟 什么是“自发偏移力”？

想象你让一个小球停在一个平面上。如果平面是水平的，小球不会自己滚动，这就是没有“自发偏移力”的情况。

但如果平面稍微倾斜了一点，即使你不推它，小球也会因为重力自己往下滑。这种“不需要外力就会动”的趋势，就叫做“自发偏移力”。

在控制系统中，比如电机，摩擦力就是一种“自发偏移力”。即使你不给它加动力，它也会因为摩擦而慢慢停下来。

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🤔 那稳态误差是怎么产生的呢？

假设你想让一个电机一直以每分钟100转的速度旋转：

• 一开始，控制器根据当前速度和目标速度之间的误差来决定输出多少功率；
• 当误差为0时（也就是电机刚好转得够快），比例项（P）的输出变成0；
• 但问题是：电机有摩擦力，它会慢慢减速；
• 一旦减速了，误差又出现了，比例项开始输出一点功率来“拉回”速度；
• 最后会达到一个平衡点：
  • 控制器输出的功率 = 摩擦力消耗的能量；
  • 此时电机转速略低于目标值，但稳定不变；
  • 这个稳定的偏差，就叫稳态误差。

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🧠 类比理解

你可以把这想象成你在推一辆带刹车的车：

• 你想让它匀速前进；
• 当车速刚好合适时，你松手不推了；
• 但是车的刹车会让它慢慢停下来；
• 所以你要一直轻轻推着，才能保持匀速；
• 如果你只按误差大小来决定推多大力气（比如误差越大力气越大），那最终你会找到一个“刚刚好能维持慢速前进”的力量；
• 但这时车还是比你想要的速度慢一点——这就是稳态误差。

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✅ 总结一句话：

稳态误差就像你骑自行车上坡时不踩脚踏板，自行车会慢慢停下来，哪怕你只是想让它停在原地不动。因为有阻力存在，系统无法在零误差下维持平衡，最终只能在一个“略有误差但稳定”的状态停下来。

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如果你用的是纯比例控制（只有P），那就会出现这个问题；要解决它，就需要加上积分项（I），它可以把“历史上的误差”积累起来，持续调整输出，从而消除这个稳态误差。这就是为什么PID控制器中的“I”这么重要

积分项（I）

1. 核心原理与作用

• PI 控制公式：PI = KP×error + KI×∫error（误差的积分），需与比例项配合使用（单独使用积分项有缺陷）。
• 积分逻辑：积分项是历史所有误差的累积（程序中通过 “误差累加变量” 实现），输出与累积误差成正比。
  • 例：每次调控时，将当前误差累加到总和中，再乘以 KI，作为积分项输出。
• 核心作用：弥补纯比例项的稳态误差。
  • 若系统存在稳态误差，积分项会持续累积误差，使调控力逐渐增大，直到误差为 0；此时积分项的累积输出可维持与自发偏移力（如摩擦力）的平衡，无稳态误差。

2. 优缺点与特性

• 优势：彻底消除稳态误差（只要有误差就会累积调控力）。
• 弊端
  • 滞后性：积分项依赖历史误差累积，对突变响应慢（如电机需反转时，需先抵消正向累积的力，再反向累积，导致滞后）。
  • 参数影响：KI 越大，误差累积越快，稳态误差消除越快，但滞后性越强，可能导致系统不稳定（如平衡控制中易震荡）。

3. 与比例项的配合（PI 控制）

• 互补逻辑
  • 比例项：反应快（仅依赖当前误差），负责快速响应误差；
  • 积分项：消除稳态误差，弥补比例项的缺陷。
• 实验验证（电机定速控制）
  • 纯积分项（KP=0，KI=0.05）：无超调，但响应慢，需逐步累积力才能接近目标值。
  • PI 配合（KP=0.25，KI=0.2）：比例项快速提升实际值，积分项消除稳态误差，波形平滑，跟踪目标准确（参数合适时效果最优）。
  • 参数过调（KP=0.5，KI=0.5）：积分项累积过快，导致超调（实际值超过目标值），甚至震荡。

📚 积分项的比喻

1. 蓄水池模型

想象你正在试图用水泵将一个空的蓄水池填满到特定的水位（目标值）。由于水泵的功率是固定的，而进水量可能受到管道阻力、水源压力变化等因素的影响，导致实际水位很难精确达到设定的水位。

• 比例控制（P）：就像你根据当前水位与目标水位之间的差距来调节水泵的开启程度。如果差距大，就开得更大；差距小，就开得小一些。
• 但是，即使水位接近目标值，因为有微小的误差存在，比如少量的漏水或者进水速度稍慢，水位总是差那么一点点无法完全达到目标值。
• 积分控制（I）：这就像是你在旁边放置了一个记事本，每次发现水位低于目标值时，就在上面做一个标记。随着标记数量增加（即累积了过去的误差），你会逐渐意识到需要稍微加大水泵的功率，哪怕当前的误差很小，直到最终完全填满水池。

2. 驾驶汽车上坡

假设你要开车上一个缓坡，你的目标是保持恒定的速度行驶。

• 比例控制（P）：当你发现车速下降时，你就加大油门；当车速接近目标速度时，减小油门。
• 但，如果你只依赖比例控制，可能会遇到这样的情况：车速总是略低于目标速度，因为你没有考虑到之前的减速累计效应。
• 积分控制（I）：这就好比你在心里记下每一次车速低于目标速度的情况，然后逐步增加油门力度，即便当前的瞬时误差已经很小，但基于之前多次的小误差，你知道需要额外加点油才能保持目标速度。

🎯 积分项如何工作？

• 累积误差：积分项通过累加所有历史误差（通常是误差的时间积分），确保即使是很小但持续存在的误差也不会被忽略。
• 修正稳态误差：由于它可以补偿那些长期存在的小偏差，因此对于消除系统中的稳态误差特别有效。
• 避免过调：需要注意的是，积分项虽然能有效地减少或消除稳态误差，但如果积分系数 KI 设置过大，可能导致系统响应过于敏感，产生超调甚至振荡现象。

🌟 总结

积分项就像是一个“累积器”，它会记住并纠正那些比例项无法解决的小且持久的误差。通过不断地积累这些误差，并据此做出调整，使得系统能够更加准确地达到并维持在目标值附近。这种机制尤其适用于需要高精度控制的应用场景中。

微分项（D）

1. 阻碍误差的急剧变化
   • 当误差稳定不变（斜率为 0）时，D 项输出为 0；
   • 当误差向某一方向变化时，D 项输出反向作用力阻碍该变化，且变化速度越快，阻碍力越大；
   • 例：误差为 100（数值大）但恒定不变时，D 项无输出；误差快速增大时，D 项输出反向力抑制其增大。
2. 预测未来并提前调控
   误差变化的斜率可反映未来误差的变化趋势，因此 D 项能基于趋势提前施加调控，减少滞后。
3. 增加系统阻尼，防止超调
   • 对惯性较大的系统（如倒立摆、平衡车、四旋翼飞行器），D 项可增加阻尼，使震荡幅度逐渐减小（类似 “阻尼震荡”），避免因 PI 调节导致的持续震荡和超调。
   • 例：倒立摆控制中，无 D 项时误差会不断扩大，加入 D 项后震荡逐步衰减，系统趋于稳定。
4. Kd取值的影响
   • Kd 越大，系统阻尼越强，抑制震荡的效果越好；
   • 但 Kd 过大会导致 “卡顿”：D 项会过度阻碍 P 项和 I 项的调控，使被控对象运动不流畅。

连续 PID 公式离散化

• 离散化公式：连续 PID 公式离散后得到位置式 PID 公式。
• 各部分离散分析：P 项离散较简单，就是将时刻误差替换为第 k 次调控时刻误差；I 项积分离散是因为积分可近似为离散矩形面积之和，所以多了调控周期 t；D 项微分离散是用两点误差差除以调控周期 t 来近似切线斜率。
• 公式简化：可将调控周期 t 合并到 ki 和 kd 中，使公式更简洁，但修改调控周期 t 时，ki 和 kd 参数需对应更改。

位置式与增量式 PID 区别

• 位置式 PID：由连续形式 PID 直接离散得到，每次计算得到全量输出值，可直接给被控对象，适合大部分场景，可单独对误差积分进行积分限幅，但信号受噪声干扰时会使执行机构大幅度变化。
• 增量式 PID：由位置式 PID 推导得到，每次计算得到输出值增量，一般不能直接给被控对象，除非对象有积分功能；内部积分的增量式 PID 可通过控制器内积分输出全量，与位置式 PID 整体功能相同；可单独对输出值增量限幅，防止执行机构大幅度变化。

对比维度	位置式 PID	增量式 PID（内部无积分）
输出内容	全量控制值	控制量增量
所需误差	累计误差 + 当前 / 上次误差	当前 / 上次 / 上上次误差
限幅处理	需分别对积分和输出限幅	仅需对增量限幅
适用场景	绝大多数场景（直接驱动执行机构）	支持增量输入的执行机构（如阀门）

PID 调控的实现方法

1. 调控周期t的确定

• 原则：根据被控对象变化速度选择：
  • 快速对象（倒立摆、四轴）：t=1−50m**s；
  • 中速对象（电机控速）：t=20−100m**s；
  • 慢速对象（锅炉加热）：几百几十秒。
• 限制：受硬件（如传感器刷新频率、编码器分辨率）影响，过快无意义。

2. 定时调控的 3 种实现方案（单片机）

方案	实现逻辑	优点	缺点
1. delay延时	主循环中执行 PID 后延时t	实现最简单	周期不精确，阻塞主程序
2. 定时器中断	中断中直接执行 PID 调控	周期精确，不阻塞主程序	如果在主程序和中断中都对同一硬件进行数据的读取，可能引发硬件资源访问冲突
3. 定时器 + 标志位	中断置标志位，主循环检测标志位执行 PID	无资源冲突	主程序阻塞时周期不精确

位置式PID框架

// 变量定义  
float target, actual, out;  // 目标值、实际值、输出值  
float kp, ki, kd;          // 比例、积分、微分系数  
float error0, error1;       // 本次误差、上次误差  
float error_int;            // 误差积分（累计误差）  // 主函数  
void main() {  初始化定时器（定时周期t）;  while(1) {  target = 用户设定值;  // 如通过按键、串口修改目标值  }  
}  // 定时器中断函数（核心逻辑）  
void Timer_IRQ() {  // 步骤1：获取实际值  actual = 读取传感器();  // 如读取编码器、温度传感器  // 步骤2：更新误差  error1 = error0;        // 上次误差 = 之前的本次误差  error0 = target - actual;  // 本次误差 = 目标值 - 实际值  // 步骤3：更新积分  error_int += error0;    // 累计误差累加  // 步骤4：计算位置式输出  out = kp * error0 + ki * error_int + kd * (error0 - error1);  // 步骤5：输出限幅  if(out > 上限) out = 上限;  if(out < 下限) out = 下限;  // 步骤6：控制执行机构  执行机构输出(out);  // 如设置电机PWM、加热功率  
}  

增量式PID框架（内部累计输出全量）

// 变量定义  
float target, actual, out;  // 目标值、实际值、全量输出  
float kp, ki, kd;  
float error0, error1, error2;  // 本次误差、上次误差、上上次误差  // 主函数（同位置式）  
void main() {  初始化定时器;  while(1) { target = 用户设定值; }  
}  // 定时器中断函数  
void Timer_IRQ() {  // 步骤1：获取实际值  actual = 读取传感器();  // 步骤2：更新误差（传递3次误差）  error2 = error1;  // 上上次误差 = 之前的上次误差  error1 = error0;  // 上次误差 = 之前的本次误差  error0 = target - actual;  // 步骤3：计算增量  float delta_out = kp*(error0 - error1) + ki*error0 + kd*(error0 - 2*error1 + error2);  // 步骤4：累加增量得到全量输出  out += delta_out;  // 步骤5：输出限幅  if(out > 上限) out = 上限;  if(out < 下限) out = 下限;  // 步骤6：控制执行机构  执行机构输出(out);  
}  

PID算法的改进