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【高等数学】第三章微分中值定理与导数的应用——第三节泰勒公式

news 2025/7/12 16:43:07

上一节：【高等数学】第三章微分中值定理与导数的应用——第二节洛必达法则
总目录：【高等数学】目录

文章目录

1. 泰勒公式的背景
2. 泰勒（Taylor）中值定理1
3. 泰勒（Taylor）中值定理2
4. 泰勒公式的应用

1. 泰勒公式的背景

对于一些较复杂的函数，为了便于研究，往往希望用一些简单的函数来近似表达. 由于用多项式表示的函数，只要对自变量进行有限次加、减、乘三种算术运算，便能求出它的函数值来，因此我们经常用多项式来近似表达函数.
从微分的定义可知， $f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+o(x-x_0)$ .为了提高精确度，可以用更高次的多项式进行近似。
于是，提出如下问题：
设 $f (x)$ 在 $x_0$ 处具有 $n$ 阶导数，试找出一个关于 $x - x_0)$ 的 $n$ 次多项式
$pn(x)=a0+a1(x−x0)+a2(x−x0)2+⋯+an(x−x0)np_n(x) = a_0 + a_1(x - x_0) + a_2(x - x_0)^2 + \cdots + a_n(x - x_0)^n$
来近似表达 $f (x)$ ，要求使得 $p_n(x)$ 与 $f (x)$ 之差是当 $\to x_0$ 时比 $x - x_0)^n$ 高阶的无穷小.

2. 泰勒（Taylor）中值定理1

如果函数 $f (x)$ 在 $x_0$ 处具有 $n$ 阶导数，那么存在 $x_0$ 的一个邻域，对于该邻域内的任一 $x$ ，有
$f(x) = p_n(x) + R_n(x)$
其中

$pn(x)=f(x0)+f′(x0)(x−x0)+f′′(x0)2!(x−x0)2+⋯+f(n)(x0)n!(x−x0)np_n(x)=f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) + \dfrac{f''(x_0)}{2!}(x - x_0)^2 + \cdots + \dfrac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x - x_0)^n$ ，称为函数 $f (x)$ 在 $x_0$ 处（或按 $x - x_0)$ 的幂展开）的 $n$ 次泰勒多项式
$Rn(x)=o((x−x0)n)R_n(x) = o\left((x - x_0)^n\right)$ ，称为佩亚诺余项，它只是近似地表达了用泰勒多项式近似后的误差
$f(x) = p_n(x) + R_n(x)$ 称为 $f (x)$ 在 $x_0$ 处（或按 $x - x_0)$ 的幂展开）的带有佩亚诺（Peano）余项的 $n$ 阶泰勒公式

$R_n(x) = f(x) - p_n(x)$ ，则 $Rn(x0)=Rn′(x0)=Rn′′(x0)=⋯=Rn(n)(x0)=0R_n(x_0) = R_n'(x_0) = R_n''(x_0) = \cdots = R_n^{(n)}(x_0) = 0$
由于 $f (x)$ 在 $x_0$ 处有 $n$ 阶导数，因此 $f (x)$ 必在 $x_0$ 的某邻域内存在 $(n - 1)$ 阶导数，从而 $R_n(x)$ 也在该邻域内 $(n - 1)$ 阶可导，反复应用洛必达法则，得
$lim⁡x→x0Rn(x)(x−x0)n=lim⁡x→x0Rn′(x)n(x−x0)n−1=lim⁡x→x0Rn′′(x)n(n−1)(x−x0)n−2=⋯=lim⁡x→x0Rn(n−1)(x)n!(x−x0)=1n!lim⁡x→x0Rn(n−1)(x)−Rn(n−1)(x0)x−x0=1n!Rn(n)(x0)=0\begin{align*} \lim\limits_{x \to x_0} \dfrac{R_n(x)}{(x - x_0)^n} &= \lim\limits_{x \to x_0} \dfrac{R_n'(x)}{n(x - x_0)^{n - 1}} = \lim\limits_{x \to x_0} \dfrac{R_n''(x)}{n(n - 1)(x - x_0)^{n - 2}} \\ &= \cdots = \lim\limits_{x \to x_0} \dfrac{R_n^{(n - 1)}(x)}{n! (x - x_0)} \\ &= \dfrac{1}{n!} \lim\limits_{x \to x_0} \dfrac{R_n^{(n - 1)}(x) - R_n^{(n - 1)}(x_0)}{x - x_0} \\ &= \dfrac{1}{n!} R_n^{(n)}(x_0)= 0 \end{align*}$
因此 $Rn(x)=o((x−x0)n)R_n(x) = o\left((x - x_0)^n\right)$ ，定理证毕.

3. 泰勒（Taylor）中值定理2

如果函数 $f (x)$ 在 $x_0$ 的某个邻域 $U(x_0)$ 内具有 $(n + 1)$ 阶导数，那么对任一 $\in U(x_0)$ ，有
$f(x) = p_n(x) + R_n(x)$
其中

$pn(x)=f(x0)+f′(x0)(x−x0)+f′′(x0)2!(x−x0)2+⋯+f(n)(x0)n!(x−x0)np_n(x)=f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) + \dfrac{f''(x_0)}{2!}(x - x_0)^2 + \cdots + \dfrac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x - x_0)^n$
$Rn(x)=f(n+1)(ξ)(n+1)!(x−x0)n+1R_n(x) = \dfrac{f^{(n + 1)}(\xi)}{(n + 1)!}(x - x_0)^{n + 1}$ ，这里 $ξ\xi$ 是 $x_0$ 与 $x$ 之间的某个值. $R_n(x)$ 称为拉格朗日余项
$f(x) = p_n(x) + R_n(x)$ 称为 $f (x)$ 在 $x_0$ 处（或按 $x - x_0)$ 的幂展开）的带有拉格朗日余项的 $n$ 阶泰勒公式

$R_n(x) = f(x) - p_n(x)$ ，则 $Rn(x0)=Rn′(x0)=Rn′′(x0)=⋯=Rn(n)(x0)=0R_n(x_0) = R_n'(x_0) = R_n''(x_0) = \cdots = R_n^{(n)}(x_0) = 0$
对两个函数 $R_n(x)$ 及 $x - x_0)^{n + 1}$ 在以 $x_0$ 及 $x$ 为端点的区间上反复应用柯西中值定理
$x0之间)\begin{aligned}\dfrac{R_n(x)}{(x - x_0)^{n + 1}} &= \dfrac{R_n(x) - R_n(x_0)}{(x - x_0)^{n + 1} - 0} = \dfrac{R_n'(\xi_1)}{(n + 1)(\xi_1 - x_0)^n} \quad (\xi_1 \text{ 在 } x_0 \text{ 与 } x \text{ 之间})\\ &=\dfrac{R_n'(\xi_1)-R'_n(x_0)}{(n + 1)(\xi_1 - x_0)^n-0}=\dfrac{R_n''(\xi_2)}{(n + 1)n(\xi_2 - x_0)^{(n-1)}} \quad (\xi_2 \text{ 在 } \xi_1 \text{ 与 } x_0 \text{ 之间})\\&\dots\\&=\dfrac{R_n^{(n+1)}(\xi)}{(n + 1)!}=\dfrac{f_n^{(n+1)}(\xi)}{(n + 1)!}\quad (\xi \text{ 在 } \xi_n \text{ 与 } x_0 \text{ 之间})\end{aligned}$
$x之间)R_n(x) = \dfrac{f^{(n + 1)}(\xi)}{(n + 1)!}(x - x_0)^{n + 1} \quad (\xi \text{ 在 } x_0 \text{ 与 } x \text{ 之间})$

4. 泰勒公式的应用

泰勒公式误差估计式
由泰勒中值定理 2 可知，以多项式 $p_n(x)$ 近似表达函数 $f (x)$ 时，其误差为 $R_n(x)|$ 。如果对于某个固定的 $n$ ，当 $\in U(x_0)$ 时， $∣f(n+1)(x)∣≤M|f^{(n + 1)}(x)| \leq M$ ，那么有估计式
$∣Rn(x)∣=∣f(n+1)(ξ)(n+1)!(x−x0)n+1∣≤M(n+1)!∣x−x0∣n+1|R_n(x)| = \left| \dfrac{f^{(n + 1)}(\xi)}{(n + 1)!}(x - x_0)^{n + 1} \right| \leq \dfrac{M}{(n + 1)!}|x - x_0|^{n + 1}$
带佩亚诺余项的麦克劳林公式
对 $f (x)$ 在 $x_0$ 处（或按 $x - x_0)$ 的幂展开）的带有佩亚诺（Peano）余项的 $n$ 阶泰勒公式，令 $x_0=0$ ，就得到了带佩亚诺余项的麦克劳林公式
$\cdots + \dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n + o(x^n)$
带拉格朗日余项的麦克劳林公式
对 $f (x)$ 在 $x_0$ 处（或按 $x - x_0)$ 的幂展开）的带有拉格朗日余项的 $n$ 阶泰勒公式，令 $x_0=0$ ， $ξ\xi$ 在0与 $x$ 之间，可以令 $ξ=θx(0<θ<1)\xi=\theta x(0<\theta<1)$ ，就得到了带拉格朗日余项的麦克劳林公式
$f(x)=f(0)+f′(0)x+f′′(0)2!x2+⋯+f(n)(0)n!xn+f(n+1)(θx)(n+1)!xn+1(0<θ<1)\begin{align*} f(x) &= f(0) + f'(0)x + \dfrac{f''(0)}{2!}x^2 + \cdots + \dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n + \\ &\quad \dfrac{f^{(n + 1)}(\theta x)}{(n + 1)!}x^{n + 1} \quad (0 < \theta < 1) \end{align*}$
麦克劳林公式误差估计式
结合带拉格朗日余项的麦克劳林公式和泰勒公式误差估计式，可以得到麦克劳林公式误差估计式
$\approx f(0) + f'(0)x + \dfrac{f''(0)}{2!}x^2 + \cdots + \dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n,\quad|R_n(x)| \leq \dfrac{M}{(n + 1)!}|x|^{n + 1}$
常用函数的带拉格朗日余项的麦克劳林公式
- $ex=1+x+x22!+⋯+xnn!+eθx(n+1)!xn+1(0<θ<1)e^x = 1 + x + \dfrac{x^2}{2!} + \cdots + \dfrac{x^n}{n!} + \dfrac{e^{\theta x}}{(n + 1)!}x^{n + 1} \quad (0 < \theta < 1)$
- $sin⁡x=x−x33!+x55!−⋯+(−1)m−1x2m−1(2m−1)!+R2m,R2m(x)=(−1)mcos⁡θx(2m+1)!x2m+1(0<θ<1)\sin x = x - \dfrac{x^3}{3!} + \dfrac{x^5}{5!} - \cdots + (-1)^{m - 1}\dfrac{x^{2m - 1}}{(2m - 1)!} + R_{2m},\quad R_{2m}(x) = (-1)^m\dfrac{\cos\theta x}{(2m + 1)!}x^{2m + 1} \quad (0 < \theta < 1)$
- $cos⁡x=1−x22!+x44!−⋯+(−1)mx2m(2m)!+R2m+1(x),R2m+1(x)=(−1)m+1cos⁡θx(2m+2)!x2m+2(0<θ<1)\cos x = 1 - \dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^4}{4!} - \cdots + (-1)^m\dfrac{x^{2m}}{(2m)!} + R_{2m + 1}(x),\quad R_{2m + 1}(x) = (-1)^{m + 1}\dfrac{\cos\theta x}{(2m + 2)!}x^{2m + 2} \quad (0 < \theta < 1)$
- $ln⁡(1+x)=x−x22+x33−⋯+(−1)n−1xnn+Rn(x),Rn(x)=(−1)n(n+1)(1+θx)n+1xn+1(0<θ<1)\ln(1 + x) = x - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^3}{3} - \cdots + (-1)^{n - 1}\dfrac{x^n}{n} + R_n(x),\quad R_n(x) = \dfrac{(-1)^n}{(n + 1)(1 + \theta x)^{n + 1}}x^{n + 1} \quad (0 < \theta < 1)$
- $x)^\alpha = 1 + \alpha x + \dfrac{\alpha(\alpha - 1)}{2!}x^2 + \cdots + \dfrac{\alpha(\alpha - 1)\cdots(\alpha - n + 1)}{n!}x^n + R_n(x),\quad R_n(x) = \dfrac{\alpha(\alpha - 1)\cdots(\alpha - n + 1)(\alpha - n)}{(n + 1)!}(1 + \theta x)^{\alpha - n - 1}x^{n + 1} \quad (0 < \theta < 1)$