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多元函数的切平面与线性近似:几何直观与计算方法

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文章目录

    • 引言:从切线到切平面的自然推广
    • 一、切平面的定义与几何意义
      • 1. 形式化定义
      • 2. 几何解释
      • 3.切平面求解示例
      • 示例1:简单二次曲面
      • 示例2:超越函数
    • 二、线性近似的概念与公式
      • 1. 线性近似公式
      • 2. 近似精度
      • 3. 线性近似应用示例
      • 示例3:近似计算
      • 示例4:误差估计
    • 五、切平面存在条件
      • 1. 可微性要求
      • 2. 反例分析
    • 六、总结与应用
      • 1. 核心公式对比
      • 2. 典型应用场景
      • 3. 学习要点


引言:从切线到切平面的自然推广

在单变量微积分中,我们使用切线来近似函数在某点附近的行为。对于多元函数,这个角色由切平面来承担。切平面不仅是重要的几何对象,更是理解多元函数局部性质的关键工具。本文将详细介绍切平面的定义、几何意义,并通过具体示例展示如何求切平面方程和构建线性近似。

一、切平面的定义与几何意义

1. 形式化定义

对于可微的二元函数 z=f(x,y)z = f(x,y)z=f(x,y),在点 (a,b,f(a,b))(a,b,f(a,b))(a,b,f(a,b)) 处的切平面方程为:

z=f(a,b)+fx(a,b)(x−a)+fy(a,b)(y−b)z = f(a,b) + f_x(a,b)(x-a) + f_y(a,b)(y-b) z=f(a,b)+fx(a,b)(xa)+fy(a,b)(yb)

其中:

  • fx(a,b)f_x(a,b)fx(a,b)fy(a,b)f_y(a,b)fy(a,b) 分别是 fff(a,b)(a,b)(a,b) 处的偏导数
  • (x−a)(x-a)(xa)(y−b)(y-b)(yb) 是相对于切点的位移量

2. 几何解释

切平面是在给定点与曲面最紧密接触的平面,具有以下特性:

  • 包含曲面上该点的所有切线
  • 在切点附近与曲面的偏差最小(二阶无穷小)
  • 提供了曲面在该点邻域的最佳线性近似
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D# 定义函数和偏导数
def f(x,y): return x**2 + y**2
def fx(x,y): return 2*x
def fy(x,y): return 2*y# 切点
a, b = 1, 1
z0 = f(a,b)# 切平面函数
def tangent_plane(x,y):return z0 + fx(a,b)*(x-a) + fy(a,b)*(y-b)# 创建网格
x = np.linspace(-2,2,20)
y = np.linspace(-2,2,20)
X,Y = np.meshgrid(x,y)
Z = f(X,Y)
Z_tan = tangent_plane(X,Y)# 绘制
fig = plt.figure(figsize=(10,7))
ax = fig.add_subplot(111, projection='3d')
ax.plot_surface(X,Y,Z, alpha=0.7, label='曲面 $z=x^2+y^2$')
ax.plot_surface(X,Y,Z_tan, alpha=0.5, color='r', label='切平面')
ax.scatter([a],[b],[z0], color='k', s=50)
ax.set_title('函数曲面与切平面的几何关系')
ax.legend()
plt.show()

3.切平面求解示例

示例1:简单二次曲面

求函数 f(x,y)=2x2+y2f(x,y) = 2x^2 + y^2f(x,y)=2x2+y2 在点 (1,1,3)(1,1,3)(1,1,3) 处的切平面方程。

步骤

  1. 计算偏导数:
    • fx=4x⇒fx(1,1)=4f_x = 4x \Rightarrow f_x(1,1) = 4fx=4xfx(1,1)=4
    • fy=2y⇒fy(1,1)=2f_y = 2y \Rightarrow f_y(1,1) = 2fy=2yfy(1,1)=2
  2. 代入切平面公式:
    z=3+4(x−1)+2(y−1)z = 3 + 4(x-1) + 2(y-1) z=3+4(x1)+2(y1)
    化简得:
    4x+2y−z−3=04x + 2y - z - 3 = 0 4x+2yz3=0

示例2:超越函数

f(x,y)=exsin⁡yf(x,y) = e^{x}\sin yf(x,y)=exsiny(ln⁡2,π/4)(\ln 2, \pi/4)(ln2,π/4) 处的切平面。

步骤

  1. 计算函数值和偏导数:
    • f(ln⁡2,π/4)=2⋅22=2f(\ln 2, \pi/4) = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}f(ln2,π/4)=222=2
    • fx=exsin⁡y⇒fx(ln⁡2,π/4)=2f_x = e^x \sin y \Rightarrow f_x(\ln 2, \pi/4) = \sqrt{2}fx=exsinyfx(ln2,π/4)=2
    • fy=excos⁡y⇒fy(ln⁡2,π/4)=2f_y = e^x \cos y \Rightarrow f_y(\ln 2, \pi/4) = \sqrt{2}fy=excosyfy(ln2,π/4)=2
  2. 切平面方程:
    z=2+2(x−ln⁡2)+2(y−π/4)z = \sqrt{2} + \sqrt{2}(x-\ln 2) + \sqrt{2}(y-\pi/4) z=2+2(xln2)+2(yπ/4)

二、线性近似的概念与公式

1. 线性近似公式

函数 f(x,y)f(x,y)f(x,y)(a,b)(a,b)(a,b) 附近的线性近似(也称为一阶近似)为:

L(x,y)=f(a,b)+fx(a,b)(x−a)+fy(a,b)(y−b)L(x,y) = f(a,b) + f_x(a,b)(x-a) + f_y(a,b)(y-b) L(x,y)=f(a,b)+fx(a,b)(xa)+fy(a,b)(yb)

2. 近似精度

线性近似的误差随着 (x,y)(x,y)(x,y) 远离 (a,b)(a,b)(a,b) 而增大,但在足够小的邻域内:

f(x,y)≈L(x,y)+高阶小量f(x,y) \approx L(x,y) + \text{高阶小量} f(x,y)L(x,y)+高阶小量

3. 线性近似应用示例

示例3:近似计算

用线性近似估算 (1.02)3+(1.97)2(1.02)^3 + (1.97)^2(1.02)3+(1.97)2 的值。

解法

  1. f(x,y)=x3+y2f(x,y) = x^3 + y^2f(x,y)=x3+y2,在 (1,2)(1,2)(1,2) 处近似
  2. 计算:
    • f(1,2)=1+4=5f(1,2) = 1 + 4 = 5f(1,2)=1+4=5
    • fx=3x2⇒fx(1,2)=3f_x = 3x^2 \Rightarrow f_x(1,2) = 3fx=3x2fx(1,2)=3
    • fy=2y⇒fy(1,2)=4f_y = 2y \Rightarrow f_y(1,2) = 4fy=2yfy(1,2)=4
  3. 线性近似:
    L(1.02,1.97)≈5+3(0.02)+4(−0.03)=5+0.06−0.12=4.94L(1.02,1.97) \approx 5 + 3(0.02) + 4(-0.03) = 5 + 0.06 - 0.12 = 4.94 L(1.02,1.97)5+3(0.02)+4(0.03)=5+0.060.12=4.94
    实际值:≈4.9412\approx 4.94124.9412,误差仅 0.02%

示例4:误差估计

测量长方体边长 x=2mx=2\text{m}x=2my=3my=3\text{m}y=3mz=4mz=4\text{m}z=4m,可能有最大 0.1cm 的测量误差,估计体积的最大误差。

解法

  1. 体积 V(x,y,z)=xyzV(x,y,z) = xyzV(x,y,z)=xyz
  2. 线性近似:
    ΔV≈VxΔx+VyΔy+VzΔz=yzΔx+xzΔy+xyΔz\Delta V \approx V_x \Delta x + V_y \Delta y + V_z \Delta z = yz\Delta x + xz\Delta y + xy\Delta z ΔVVxΔx+VyΔy+VzΔz=yzΔx+xzΔy+xyΔz
  3. (2,3,4)(2,3,4)(2,3,4) 处:
    ΔV≈12(0.001)+8(0.001)+6(0.001)=0.026m3\Delta V \approx 12(0.001) + 8(0.001) + 6(0.001) = 0.026 \text{m}^3 ΔV12(0.001)+8(0.001)+6(0.001)=0.026m3

五、切平面存在条件

1. 可微性要求

切平面存在的充分条件是函数在该点可微,即:

  • 所有偏导数存在
  • 函数在该点的增量可以表示为:
    Δf=fx(a,b)Δx+fy(a,b)Δy+ϵ1Δx+ϵ2Δy\Delta f = f_x(a,b)\Delta x + f_y(a,b)\Delta y + \epsilon_1\Delta x + \epsilon_2\Delta y Δf=fx(a,b)Δx+fy(a,b)Δy+ϵ1Δx+ϵ2Δy
    其中当 (Δx,Δy)→(0,0)(\Delta x,\Delta y)\to(0,0)(Δx,Δy)(0,0)ϵ1,ϵ2→0\epsilon_1,\epsilon_2\to0ϵ1,ϵ20

2. 反例分析

示例5:函数 f(x,y)=∣x∣+∣y∣f(x,y) = |x| + |y|f(x,y)=x+y(0,0)(0,0)(0,0)

  • 偏导数不存在(如前面所述)
  • 不存在切平面
  • 锥点处无法找到良好的线性近似

六、总结与应用

1. 核心公式对比

概念公式用途
切平面z=f(a,b)+fx(a,b)(x−a)+fy(a,b)(y−b)z = f(a,b) + f_x(a,b)(x-a) + f_y(a,b)(y-b)z=f(a,b)+fx(a,b)(xa)+fy(a,b)(yb)几何表示
线性近似L(x,y)=f(a,b)+fx(a,b)(x−a)+fy(a,b)(y−b)L(x,y) = f(a,b) + f_x(a,b)(x-a) + f_y(a,b)(y-b)L(x,y)=f(a,b)+fx(a,b)(xa)+fy(a,b)(yb)数值估算

2. 典型应用场景

  • 工程优化:局部线性化简化复杂问题
  • 误差分析:测量误差的传播估计
  • 机器学习:梯度下降法的基础
  • 物理建模:小振动近似等

3. 学习要点

  1. 切平面是单变量切线在多元情形的自然推广
  2. 线性近似公式本质是一阶泰勒展开
  3. 可微性比偏导数存在性要求更强
  4. 在实际应用中要注意近似的有效范围

理解切平面和线性近似是掌握多元微分学的关键一步,它们为后续学习方向导数、梯度和优化问题奠定了重要基础。通过本文的几何解释和具体示例,希望您能建立起对这两个概念的直观理解。

http://www.dtcms.com/a/272162.html

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