多元函数的切平面与线性近似:几何直观与计算方法
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文章目录
- 引言:从切线到切平面的自然推广
- 一、切平面的定义与几何意义
- 1. 形式化定义
- 2. 几何解释
- 3.切平面求解示例
- 示例1:简单二次曲面
- 示例2:超越函数
- 二、线性近似的概念与公式
- 1. 线性近似公式
- 2. 近似精度
- 3. 线性近似应用示例
- 示例3:近似计算
- 示例4:误差估计
- 五、切平面存在条件
- 1. 可微性要求
- 2. 反例分析
- 六、总结与应用
- 1. 核心公式对比
- 2. 典型应用场景
- 3. 学习要点
引言:从切线到切平面的自然推广
在单变量微积分中,我们使用切线来近似函数在某点附近的行为。对于多元函数,这个角色由切平面来承担。切平面不仅是重要的几何对象,更是理解多元函数局部性质的关键工具。本文将详细介绍切平面的定义、几何意义,并通过具体示例展示如何求切平面方程和构建线性近似。
一、切平面的定义与几何意义
1. 形式化定义
对于可微的二元函数 z=f(x,y)z = f(x,y)z=f(x,y),在点 (a,b,f(a,b))(a,b,f(a,b))(a,b,f(a,b)) 处的切平面方程为:
z=f(a,b)+fx(a,b)(x−a)+fy(a,b)(y−b)z = f(a,b) + f_x(a,b)(x-a) + f_y(a,b)(y-b) z=f(a,b)+fx(a,b)(x−a)+fy(a,b)(y−b)
其中:
- fx(a,b)f_x(a,b)fx(a,b) 和 fy(a,b)f_y(a,b)fy(a,b) 分别是 fff 在 (a,b)(a,b)(a,b) 处的偏导数
- (x−a)(x-a)(x−a) 和 (y−b)(y-b)(y−b) 是相对于切点的位移量
2. 几何解释
切平面是在给定点与曲面最紧密接触的平面,具有以下特性:
- 包含曲面上该点的所有切线
- 在切点附近与曲面的偏差最小(二阶无穷小)
- 提供了曲面在该点邻域的最佳线性近似
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D# 定义函数和偏导数
def f(x,y): return x**2 + y**2
def fx(x,y): return 2*x
def fy(x,y): return 2*y# 切点
a, b = 1, 1
z0 = f(a,b)# 切平面函数
def tangent_plane(x,y):return z0 + fx(a,b)*(x-a) + fy(a,b)*(y-b)# 创建网格
x = np.linspace(-2,2,20)
y = np.linspace(-2,2,20)
X,Y = np.meshgrid(x,y)
Z = f(X,Y)
Z_tan = tangent_plane(X,Y)# 绘制
fig = plt.figure(figsize=(10,7))
ax = fig.add_subplot(111, projection='3d')
ax.plot_surface(X,Y,Z, alpha=0.7, label='曲面 $z=x^2+y^2$')
ax.plot_surface(X,Y,Z_tan, alpha=0.5, color='r', label='切平面')
ax.scatter([a],[b],[z0], color='k', s=50)
ax.set_title('函数曲面与切平面的几何关系')
ax.legend()
plt.show()
3.切平面求解示例
示例1:简单二次曲面
求函数 f(x,y)=2x2+y2f(x,y) = 2x^2 + y^2f(x,y)=2x2+y2 在点 (1,1,3)(1,1,3)(1,1,3) 处的切平面方程。
步骤:
- 计算偏导数:
- fx=4x⇒fx(1,1)=4f_x = 4x \Rightarrow f_x(1,1) = 4fx=4x⇒fx(1,1)=4
- fy=2y⇒fy(1,1)=2f_y = 2y \Rightarrow f_y(1,1) = 2fy=2y⇒fy(1,1)=2
- 代入切平面公式:
z=3+4(x−1)+2(y−1)z = 3 + 4(x-1) + 2(y-1) z=3+4(x−1)+2(y−1)
化简得:
4x+2y−z−3=04x + 2y - z - 3 = 0 4x+2y−z−3=0
示例2:超越函数
求 f(x,y)=exsinyf(x,y) = e^{x}\sin yf(x,y)=exsiny 在 (ln2,π/4)(\ln 2, \pi/4)(ln2,π/4) 处的切平面。
步骤:
- 计算函数值和偏导数:
- f(ln2,π/4)=2⋅22=2f(\ln 2, \pi/4) = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}f(ln2,π/4)=2⋅22=2
- fx=exsiny⇒fx(ln2,π/4)=2f_x = e^x \sin y \Rightarrow f_x(\ln 2, \pi/4) = \sqrt{2}fx=exsiny⇒fx(ln2,π/4)=2
- fy=excosy⇒fy(ln2,π/4)=2f_y = e^x \cos y \Rightarrow f_y(\ln 2, \pi/4) = \sqrt{2}fy=excosy⇒fy(ln2,π/4)=2
- 切平面方程:
z=2+2(x−ln2)+2(y−π/4)z = \sqrt{2} + \sqrt{2}(x-\ln 2) + \sqrt{2}(y-\pi/4) z=2+2(x−ln2)+2(y−π/4)
二、线性近似的概念与公式
1. 线性近似公式
函数 f(x,y)f(x,y)f(x,y) 在 (a,b)(a,b)(a,b) 附近的线性近似(也称为一阶近似)为:
L(x,y)=f(a,b)+fx(a,b)(x−a)+fy(a,b)(y−b)L(x,y) = f(a,b) + f_x(a,b)(x-a) + f_y(a,b)(y-b) L(x,y)=f(a,b)+fx(a,b)(x−a)+fy(a,b)(y−b)
2. 近似精度
线性近似的误差随着 (x,y)(x,y)(x,y) 远离 (a,b)(a,b)(a,b) 而增大,但在足够小的邻域内:
f(x,y)≈L(x,y)+高阶小量f(x,y) \approx L(x,y) + \text{高阶小量} f(x,y)≈L(x,y)+高阶小量
3. 线性近似应用示例
示例3:近似计算
用线性近似估算 (1.02)3+(1.97)2(1.02)^3 + (1.97)^2(1.02)3+(1.97)2 的值。
解法:
- 设 f(x,y)=x3+y2f(x,y) = x^3 + y^2f(x,y)=x3+y2,在 (1,2)(1,2)(1,2) 处近似
- 计算:
- f(1,2)=1+4=5f(1,2) = 1 + 4 = 5f(1,2)=1+4=5
- fx=3x2⇒fx(1,2)=3f_x = 3x^2 \Rightarrow f_x(1,2) = 3fx=3x2⇒fx(1,2)=3
- fy=2y⇒fy(1,2)=4f_y = 2y \Rightarrow f_y(1,2) = 4fy=2y⇒fy(1,2)=4
- 线性近似:
L(1.02,1.97)≈5+3(0.02)+4(−0.03)=5+0.06−0.12=4.94L(1.02,1.97) \approx 5 + 3(0.02) + 4(-0.03) = 5 + 0.06 - 0.12 = 4.94 L(1.02,1.97)≈5+3(0.02)+4(−0.03)=5+0.06−0.12=4.94
实际值:≈4.9412\approx 4.9412≈4.9412,误差仅 0.02%
示例4:误差估计
测量长方体边长 x=2mx=2\text{m}x=2m,y=3my=3\text{m}y=3m,z=4mz=4\text{m}z=4m,可能有最大 0.1cm 的测量误差,估计体积的最大误差。
解法:
- 体积 V(x,y,z)=xyzV(x,y,z) = xyzV(x,y,z)=xyz
- 线性近似:
ΔV≈VxΔx+VyΔy+VzΔz=yzΔx+xzΔy+xyΔz\Delta V \approx V_x \Delta x + V_y \Delta y + V_z \Delta z = yz\Delta x + xz\Delta y + xy\Delta z ΔV≈VxΔx+VyΔy+VzΔz=yzΔx+xzΔy+xyΔz - 在 (2,3,4)(2,3,4)(2,3,4) 处:
ΔV≈12(0.001)+8(0.001)+6(0.001)=0.026m3\Delta V \approx 12(0.001) + 8(0.001) + 6(0.001) = 0.026 \text{m}^3 ΔV≈12(0.001)+8(0.001)+6(0.001)=0.026m3
五、切平面存在条件
1. 可微性要求
切平面存在的充分条件是函数在该点可微,即:
- 所有偏导数存在
- 函数在该点的增量可以表示为:
Δf=fx(a,b)Δx+fy(a,b)Δy+ϵ1Δx+ϵ2Δy\Delta f = f_x(a,b)\Delta x + f_y(a,b)\Delta y + \epsilon_1\Delta x + \epsilon_2\Delta y Δf=fx(a,b)Δx+fy(a,b)Δy+ϵ1Δx+ϵ2Δy
其中当 (Δx,Δy)→(0,0)(\Delta x,\Delta y)\to(0,0)(Δx,Δy)→(0,0) 时 ϵ1,ϵ2→0\epsilon_1,\epsilon_2\to0ϵ1,ϵ2→0
2. 反例分析
示例5:函数 f(x,y)=∣x∣+∣y∣f(x,y) = |x| + |y|f(x,y)=∣x∣+∣y∣ 在 (0,0)(0,0)(0,0) 处
- 偏导数不存在(如前面所述)
- 不存在切平面
- 锥点处无法找到良好的线性近似
六、总结与应用
1. 核心公式对比
概念 | 公式 | 用途 |
---|---|---|
切平面 | z=f(a,b)+fx(a,b)(x−a)+fy(a,b)(y−b)z = f(a,b) + f_x(a,b)(x-a) + f_y(a,b)(y-b)z=f(a,b)+fx(a,b)(x−a)+fy(a,b)(y−b) | 几何表示 |
线性近似 | L(x,y)=f(a,b)+fx(a,b)(x−a)+fy(a,b)(y−b)L(x,y) = f(a,b) + f_x(a,b)(x-a) + f_y(a,b)(y-b)L(x,y)=f(a,b)+fx(a,b)(x−a)+fy(a,b)(y−b) | 数值估算 |
2. 典型应用场景
- 工程优化:局部线性化简化复杂问题
- 误差分析:测量误差的传播估计
- 机器学习:梯度下降法的基础
- 物理建模:小振动近似等
3. 学习要点
- 切平面是单变量切线在多元情形的自然推广
- 线性近似公式本质是一阶泰勒展开
- 可微性比偏导数存在性要求更强
- 在实际应用中要注意近似的有效范围
理解切平面和线性近似是掌握多元微分学的关键一步,它们为后续学习方向导数、梯度和优化问题奠定了重要基础。通过本文的几何解释和具体示例,希望您能建立起对这两个概念的直观理解。