Part 0：射影几何，变换与估计-第二章：2D射影几何与变换(下)

0帧起手

0.射影几何与欧式几何的联系，射影几何是欧式几何的一般形式，主要是其次坐标的问题，当x3=1时即为欧式几何。

1.射影变换的不变性是已知四个共线点的交比cross ratio，并且具有强大性质；

2.共线点与共点线互为对偶关系，理解共线点是后续的对极几何的基础

3.我们如何把一个带有射影畸变的图像恢复正常？这与前面射影变换的分解有关系，射影变换可以分解为相似变换&仿射变换&射影变换的乘积。因此去畸变就相当按照这个顺序一层一层再变回去（逆变换），这是2.7节的核心问题

4.具体地说，每一次变化的理论依据都是一个大前提，我们按照这些前提保证了去畸变的规范性正确性，他们的核心是：无穷远线、虚圆点

• 大前提1:仿射变换保持平行性质的不变性
• 大前提2:相似变换保持虚圆点不变性；相似变换保持虚圆点的对偶二次曲线的不变性
• 大前提3:相似变换保持角度的不变性，这是根据虚圆点的对偶二次曲线得来的

5.这里是2.8节，极点与极线关系，是基于直线与二次曲线关系的，一个点 x 和一个二次曲线 C 定义了一条直线 l = Cx。这条直线 l 称为点 x 关于 C 的极线（polar），而点 x 称为直线 l 关于 C 的极点（pole），另外，l = Ax此种映射被定义为对偶映射

6.二次曲线的其他属性，比如统一表示，不同参数表示不同的二次曲线，以及直线与二次曲线的关系

7.射影变换因为其特征值的原因，具有了变换前后的不动点与不动线的性质，这里的射影变换是泛指所有的相似变换、仿射变换、射影变换，具体请看2.9节

2.5 1D射影几何

2.5.1cross ratio

1D射影几何 IP¹即一条直线+其中点的变换，直线上点x由齐次坐标(x1,x2)T表示，其中x2=0对应的点称为直线的理想点。我们将采用符号x̄表示二维向量(x1,x2)T。直线的射影变换可用2×2齐次矩阵表示为：

其中射影变换H的freedom为3：

这样，H由3个点对来计算得出。

下面介绍交比（cross ratio）及其性质：

在射影几何中，交比是 IP¹（射影直线）的基本不变量。给定四个点 xˉ1,xˉ2,xˉ3,xˉ4xˉ1​,xˉ2​,xˉ3​,xˉ4​，其交比定义为：

交比是射影几何中比距离更基本的量，因为距离在射影变换下并非不变量。性质：

1）齐次坐标无关性：齐次坐标可以自由缩放（如 λxˉ），但分子分母的缩放因子会抵消，确保交比唯一。

2）距离：在仿射坐标系下（x2​=1），行列式退化为点的欧氏距离差（xi1​−xj1​），此时交比表现为距离比。

3）理想点兼容性：即使一个点是无穷远点（如 xˉi​=(1,0)），行列式仍有定义，交比依然有效。

4）射影不变性：射影变换（如平移、旋转、缩放、透视）可能改变点的绝对位置，但四点交比保持不变。

如图2.8，画出来的每一组4个点之间（有射影变换关系）的交比不变

实际上，IP¹的射影变换是IP2诱导的，因为平面中的任意点x经过射影变换以后为Hx，那么由2.3节中的定理2.10可知，点构成的直线对应的射影变换为。

2.5.2共点线（Concurrent lines）

共点线的理解是第九章中的对极几何的基础。

共点线的几何结构与直线上共线点（collinear points）具有对偶性（dual），换句话说，平面上的共点线同样具有 IP1的几何性质。具体而言，四条共点线存在一个交比（cross ratio），如图2.9a所示。

2.9b是相拍摄在实际中的类比，c为相机光心，为图像在正射视角看是一条线段是为l，对极几何正式挑选了满足上述共点线以及共线点的对偶性质的4对点来计算的，对应关系解释：点 x̄ᵢ 是点 xᵢ 在图像上的投影。不同的图像线选择会导致射影等价的点构型。

2.6射影平面的拓扑（ IP²的拓扑性质。仅供拓展理解）

2.7从图像中恢复仿射与度量性质

讲故事

我们回到例2.12（第34页）的射影校正问题，其目标是通过消除平面透视图像中的射影畸变，使得原始平面上的相似性质（如角度、长度比例）可被测量，在该例中，通过指定平面上四个参考点的位置（共8个自由度）并显式计算将这些点映射到图像的变换，完全消除了射影畸变（注意，是射影畸变，并非要