NIPS-2001《Partially labeled classification with Markov random walks》

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核心思想分析

论文的核心思想是利用马尔可夫随机游走Markov Random Walk来解决部分标记分类Partially Labeled Classification问题，即在少量标记样本和大量未标记样本的情况下进行分类。作者提出了一种基于随机游走的数据表示方法，该方法能够捕获数据的低维流形结构和密度分布，并结合少量标记样本进行分类任务。关键假设是：数据点的高密度区域或簇通常对应于单一类别，因此只需为每个簇提供少量标记即可推断整个数据集的标签。

具体而言：

• 马尔可夫随机游走表示：通过在数据点上构建邻域图并定义随机转移概率，生成一种新的表示方式，基于随机游走路径的“体积”而非最短路径，增强了对噪声的鲁棒性。
• 时间尺度参数：随机游走的时间步长 $t$ 控制表示的分辨率，允许在不同粒度上探索数据结构。
• 分类方法：提出两种参数估计方法（最大似然估计与EM算法、最大平均margin估计），并通过优化时间尺度 $t$ 来正则化模型，适应不同的分类任务。
• 自适应时间尺度：进一步提出为每个未标记点设置个体化的时间尺度，优化分类性能。

该方法特别适用于数据具有低维流形结构（如文本数据）的场景，相比传统分类器（如SVM）在少量标记样本下表现出显著优势。

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目标函数分析

论文提出了两种主要的参数估计方法，每种方法对应一个目标函数：

1. 最大似然估计（EM算法）

   目标函数是标记点的条件对数似然：
   $$\sum _{k=1}^L\log P({\hat{y}}_k\mid k)=\sum _{k=1}^L\log \sum _{i=1}^{N}P({\hat{y}}_k\mid i)P_{0\mid t}(i\mid k),$$
   其中：

   • $L$ 为标记点数量，$N$ 为总点数；
   • ${\hat{y}}_k$ 为第 $k$ 个点的真实标签；
   • $P({\hat{y}}_k\mid i)$ 为点 $i$ 属于标签 ${\hat{y}}_k$ 的概率（待估计参数）；
   • $P_{0\mid t}(i\mid k)$ 为随机游走 $t$ 步后从点 $i$ 到点 $k$ 的条件概率。

   此目标函数是关于 $P(y\mid i)$ 的凹函数，具有唯一最大值，便于通过EM算法优化。

2. 最大平均margin估计

   目标函数是最大化标记点上每类标签的平均margin：
   $$\underset{P(y\mid i),{\gamma }_{kd}}{\max }\frac{1}{C(C-1)}\sum _{k=1}^L\sum _{d=1}^C\frac{1}{N_{C(k)}}{\gamma }_{kd},$$
   受以下约束：
   $$P_{\text{post}}(y={\hat{y}}_k\mid k)\ge P_{\text{post}}(y=d\mid k)+{\gamma }_{kd},\forall k\in 1\dots L,\forall d\in 1\dots C,$$
   $$\sum _{c=1}^{C}P(y=c\mid i)=1,0\le P(y\mid i)\le 1,\forall i,$$
   其中：

   • ${\gamma }_{kd}=P_{\text{post}}(y={\hat{y}}_k\mid k)-P_{\text{post}}(y=d\mid k)$ 为点 $k$ 在类别 $d$ 上的margin；
   • $C$ 为类别数，$N_{C(k)}$ 为与点 $k$ 同类的标记点数；
   • $P_{\text{post}}(y\mid k)={\sum }_{i}P(y\mid i)P_{0\mid t}(i\mid k)$ 为点 $k$ 的后验概率。

   该目标函数是一个线性规划问题，解在参数空间的极点处，得到硬性参数（0或1）。

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目标函数优化过程

1. EM算法优化（最大似然估计）

   EM算法通过迭代进行优化：

   • E步：根据当前参数 $P(y\mid i)$，计算软分配概率：
     $$P(i\mid k,{\hat{y}}_k)\propto P({\hat{y}}_k\mid i)P_{0\mid t}(i\mid k).$$
   • M步：更新参数：
     $$P(y\mid i)\leftarrow \frac{{\sum }_{k:{\hat{y}}_k=y}P(i\mid k,{\hat{y}}_k)}{{\sum }_{k}P(i\mid k,{\hat{y}}_k)}.$$
     由于目标函数的凹性，EM算法保证收敛到全局最优。

2. 最大平均margin优化

   该优化问题是一个线性规划问题，具有闭式解：
   $$P(y=c_i\mid i)=\{\begin{array}{ll}1& \text{if }{c}_i=\arg {\max }_c\frac{1}{N_c}{\sum }_{k:{\hat{y}}_k=c}{P}_{0\mid t}(i\mid k),\\ 0& \text{otherwise}.\end{array}$$
   后验概率可表示为：
   $$P_{\text{post}}(y=c\mid k)=\sum _{i:P(y=c\mid i)=1}{P}_{0\mid t}(i\mid k).$$
   该闭式解避免了迭代优化，计算效率高，且便于通过交叉验证调整参数（如 $t$）。

3. 自适应时间尺度优化

   为未标记点设置个体化时间尺度 $t_k$，目标是最大化标签与节点标识之间的互信息：
   { t 1 , … , t m } = arg ⁡ max ⁡ t 1 , … , t m I ( y ; k ) = arg ⁡ max ⁡ t 1 , … , t m [ H ( y ) − ∑ j P ( k = j ) H ( y ∣ k = j ) ] , \{t_1, \ldots, t_m\} = \arg\max_{t_1, \ldots, t_m} I(y; k) = \arg\max_{t_1, \ldots, t_m} \left[ H(y) - \sum_j P(k=j) H(y \mid k=j) \right], {t1​,…,tm​}=argt1​,…,tm​max​I(y;k)=argt1​,…,tm​max​[H(y)−j∑​P(k=j)H(y∣k=j)],
   其中：

   • $P(y\mid k)=\frac{1}{Z_k}{\sum }_{i:{\hat{y}}_i=y}{P}_{0\mid t_k}(i\mid k)$，$Z_k$ 为归一化常数；
   • $P(y)={\sum }_{k}P(k)P(y\mid k)$，$P(k)$ 为均匀分布；
   • $H(y)$ 和 $H(y\mid k)$ 分别为标签的边际熵和条件熵。

   优化通过轴平行搜索进行，初始化 $t_k$ 为达到标记点的最小步数，迭代约5次收敛。

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主要贡献点

1. 新颖的表示方法：提出基于马尔可夫随机游走的数据表示，捕获低维流形结构和密度分布，优于传统的全局度量表示。
2. 多类分类框架：开发了适用于多类分类的平均margin准则，并提供闭式解，提高计算效率。
3. 时间尺度正则化：引入时间尺度参数 $t$ 作为正则化手段，并提出基于margin的自适应选择方法。
4. 自适应时间尺度：提出为每个未标记点设置个体化时间尺度，优化分类性能。
5. 实验验证：在合成数据和文本分类任务（20 Newsgroups数据集）上验证了方法的有效性，特别是在少量标记样本下优于SVM。

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实验结果

实验在合成数据（双月图案）和真实文本数据（20 Newsgroups的mac和windows子集）上进行：

1. 合成数据实验

   • 数据：150个点（2标记，148未标记），呈双月图案，具有非欧几里得流形结构。
   • 设置：局部欧几里得度量，$K=5$，$\sigma =0.6$，测试 $t=3,10,30$。
   • 结果：$t=30$ 时分类效果最佳，随机游走充分混合，沿流形结构正确分类；$t=3$ 时部分点未连接到标记点，分类不完全。

2. 文本分类实验

   • 数据：1919个文档（958 mac，961 windows），7511维，估计流形维数>7。
   • 设置：$K=10$，$\sigma =0.6$，$t=8$（基于平均margin选择），标记点数从2到128。
   • 结果：
     • 平均margin分类器表现最佳，特别是在少量标记点（2-16个）时，显著优于SVM。
     • 随着标记点增加，优势减小，但仍优于仅用标记数据的SVM。
     • 自适应时间尺度未显著提升性能，90%未标记点选择最小时间尺度（最多8步）。
     • 图2展示了不同 $t$ 下的平均margin和分类准确率，验证了 $t=8$ 的合理性。

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算法实现过程详细解释

以下是论文提出的马尔可夫随机游走分类算法的详细实现步骤：

1. 数据预处理

   • 输入：部分标记数据集 $\{({\mathbf{x}}_1,{\hat{y}}_1),\dots ,({\mathbf{x}}_L,{\hat{y}}_L),{\mathbf{x}}_{L+1},\dots ,{\mathbf{x}}_N\}$，其中 $L\ll N$。
   • 选择局部度量 $d({\mathbf{x}}_i,{\mathbf{x}}_j)$（如欧几里得距离），邻域大小 $K$，尺度参数 $\sigma$。

2. 构建邻域图

   • 构造对称的 $K$ 最近邻图 $G$，边权重为：
     $$W_{ij}=\exp \left(-d({\mathbf{x}}_i,{\mathbf{x}}_j)/\sigma \right),$$
     若 $i,j$ 非邻居则 $W_{ij}=0$，自环 $W_{ii}=1$。

3. 计算转移概率

   • 单步转移概率：
     $$p_{ik}=\frac{W_{ik}}{{\sum }_j{W}_{ij}},$$
     组成行随机矩阵 $\mathbf{A}$，其中 ${\mathbf{A}}_{ik}=p_{ik}$。
   • $t$ 步转移概率：
     $$P_{t\mid 0}(k\mid i)=[{\mathbf{A}}^t{]}_{ik}.$$

4. 计算表示向量

   • 假设随机游走起点均匀分布 $P(i)=1/N$，计算条件概率：
     $$P_{0\mid t}(i\mid k),$$
     每个点 $k$ 的表示为向量 { P 0 ∣ t ( i ∣ k ) } i = 1 N \{P_{0 \mid t}(i \mid k)\}_{i=1}^N {P0∣t​(i∣k)}i=1N​。

5. 参数估计

   • 最大似然估计（EM算法）：
     • 初始化 $P(y\mid i)$。
     • 迭代：
       • E步：计算 $P(i\mid k,{\hat{y}}_k)\propto P({\hat{y}}_k\mid i)P_{0\mid t}(i\mid k)$。
       • M步：更新 $P(y\mid i)\leftarrow \frac{{\sum }_{k:{\hat{y}}_k=y}P(i\mid k,{\hat{y}}_k)}{{\sum }_{k}P(i\mid k,{\hat{y}}_k)}$。
     • 直到收敛。
   • 最大平均margin估计：
     • 直接计算闭式解：
       $$P(y=c_i\mid i)=\{\begin{array}{ll}1& \text{if }{c}_i=\arg {\max }_c\frac{1}{N_c}{\sum }_{k:{\hat{y}}_k=c}{P}_{0\mid t}(i\mid k),\\ 0& \text{otherwise}.\end{array}$$

6. 时间尺度选择

   • 全局时间尺度：
     • 计算每个类的平均margin：
       $$\frac{1}{N_c}\sum _{k:\text{class}(k)=c}\sum _d{\gamma }_{kd},$$
       选择使两类margin同时较大的 $t$（如 $t=8$）。
   • 自适应时间尺度：
     • 初始化 $t_k$ 为达到标记点的最小步数。
     • 优化互信息：
       $$I(y;k)=H(y)-\sum _{j}P(k=j)H(y\mid k=j),$$
       通过轴平行搜索调整 $t_k$，迭代约5次。

7. 分类

   • 计算后验概率：
     $$P_{\text{post}}(y\mid k)=\sum _{i}P(y\mid i)P_{0\mid t}(i\mid k).$$
   • 分类结果：
     $$c_k=\arg \underset{c}{\max }{P}_{\text{post}}(y=c\mid k).$$

8. 评估

   • 在测试集上计算分类准确率，比较不同 $t$ 和方法（如EM、margin、SVM）。

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总结

该论文提出了一种创新的基于马尔可夫随机游走的分类方法，结合少量标记样本和未标记数据的流形结构，通过时间尺度正则化和自适应调整实现了高效分类。最大平均margin方法的闭式解和实验结果表明其在少量标记样本下的优越性，尤其适用于文本分类等高维数据场景。算法实现清晰，参数选择具有理论依据，提供了机器学习领域半监督学习的宝贵思路。