《高等数学》（同济大学·第7版）第五章 定积分 第四节反常积分

以下是转换为纯文本的内容：

---

同学们好！今天我们学习《高等数学》第五章第四节"反常积分"。反常积分是定积分的推广，用于解决积分区间无限或被积函数无界的"异常"积分问题。

一、为什么需要反常积分？定积分的局限性

定积分∫(a到b)f(x)dx的定义要求：

1. 积分区间[a,b]是有限的
2. 被积函数f(x)在[a,b]上有界

但实际问题中常遇到两类异常情况：

• 积分区间无限（如∫(0到+∞)e⁻ˣdx）
• 被积函数无界（如∫(0到1)1/√x dx）

这类问题需要引入反常积分（广义积分）。

二、反常积分的定义

反常积分分为两类：

1. 无穷限反常积分（积分区间无限）
   ∫(a到+∞)f(x)dx = lim(t→+∞)∫(a到t)f(x)dx
   若极限存在则收敛，否则发散。

类似定义：
∫(-∞到b)f(x)dx = lim(t→-∞)∫(t到b)f(x)dx
∫(-∞到+∞)f(x)dx = ∫(-∞到c)f(x)dx + ∫(c到+∞)f(x)dx

2. 无界函数的反常积分（瑕积分）
   若f(x)在[a,b]上无界，x₀为瑕点：
   ∫(a到b)f(x)dx = lim(ε→0⁺)∫(a到x₀-ε)f(x)dx + lim(δ→0⁺)∫(x₀+δ到b)f(x)dx

例子：∫(0到1)1/√x dx
x=0是瑕点：
lim(ε→0⁺)∫(ε到1)1/√x dx = lim(ε→0⁺)(2-2√ε) = 2（收敛）

三、反常积分的计算

1. 无穷限反常积分计算步骤：
   (1) 写极限形式
   (2) 计算定积分
   (3) 求极限

例子：∫(0到+∞)e⁻ˣdx
= lim(t→+∞)∫(0到t)e⁻ˣdx
= lim(t→+∞)(1-e⁻ᵗ) = 1（收敛）

2. 无界函数反常积分计算步骤：
   (1) 确定瑕点
   (2) 写极限形式
   (3) 计算定积分并求极限

例子：∫(0到1)1/x² dx
x=0是瑕点：
lim(ε→0⁺)∫(ε到1)1/x² dx = lim(ε→0⁺)(-1+1/ε) = +∞（发散）

四、反常积分的收敛性判断

1. 无穷限反常积分：

• 比较判别法：若|f(x)|≤g(x)且∫g(x)dx收敛，则∫f(x)dx收敛
• 极限比较判别法：若lim(x→+∞)f(x)/g(x)=L>0，则∫f(x)dx与∫g(x)dx同敛散

例子：∫(1到+∞)1/x² dx
p=2>1，收敛

2. 无界函数反常积分：

• 比较判别法：若|f(x)|≤C/(x-x₀)ᵖ（p<1），则收敛

例子：∫(0到1)1/√x dx
p=1/2<1，收敛

五、反常积分的意义与应用

1. 描述无限过程（如放射性衰变）
2. 处理无界区域（如曲线y=1/x的面积）
3. 概率统计（如正态分布积分）

六、课堂练习

练习1：计算∫(0到+∞)1/(x+1)² dx
解答：
= lim(t→+∞)∫(0到t)1/(x+1)² dx
= lim(t→+∞)(-1/(t+1)+1) = 1

练习2：判断∫(-1到1)1/x² dx是否收敛
解答：
x=0是瑕点：
∫(-1到0)1/x² dx = lim(ε→0⁻)(-1/ε-1) = +∞（发散）

七、总结

反常积分关键点：

1. 理解两类反常积分的定义
2. 掌握计算方法（转化为极限）
3. 会用比较判别法判断收敛性

---