管理综合知识点
比与比例涉及的问题
- 比与比例基础知识
- 比例的转换
- 正反比例
- 浓度问题
- 利润问题
- 增长率问题
- 比例与面积
- 行程问题
一、比例转换与性质
核心公式：
若 a : b = c : d a:b = c:d a:b=c:d或 a b = c d \frac{a}{b} = \frac{c}{d} ba=dc → a d = b c ad = bc ad=bc（交叉相乘）
例题：
若 3 x 4 = y 5 \frac{3x}{4} = \frac{y}{5} 43x=5y 且 2 y = 15 z 2y = 15z 2y=15z，求 x : z x:z x:z
解：
由 3 x 4 = y 5 \frac{3x}{4} = \frac{y}{5} 43x=5y → 15 x = 4 y 15x = 4y 15x=4y
由 2 y = 15 z 2y = 15z 2y=15z → y = 15 2 z y = \frac{15}{2}z y=215z
代入： 15 x = 4 × 15 2 z 15x = 4 \times \frac{15}{2}z 15x=4×215z → 15 x = 30 z 15x = 30z 15x=30z → x : z = 2 : 1 x:z = 2:1 x:z=2:1
二、正反比例问题
| 类型 | 关系式 | 特点 | 例题场景 |
|---|---|---|---|
| 正比例 | y = k x y = kx y=kx ( k k k 常数) | 同增同减 | 单价固定，总价与数量 |
| 反比例 | y = k x y = \frac{k}{x} y=xk | 一增一减 | 速度固定，时间与路程 |
例题：
6台机器4小时生产480件产品，8台机器生产720件需几小时？
解：
工作量 W = k × 台数 × 时间 W = k \times \text{台数} \times \text{时间} W=k×台数×时间
先求 k k k：( 480 = k \times 6 \times 4$ → k = 20 k = 20 k=20
再解：( 720 = 20 \times 8 \times t$ → t = 4.5 t = 4.5 t=4.5 小时
三、浓度问题（重点！）
核心公式：
- 浓度 = 溶质 溶液 × 100 % \frac{\text{溶质}}{\text{溶液}} \times 100\% 溶液溶质×100%
- 十字交叉法（求混合比例）：
例题：
用30%和60%的盐水配成45%的盐水200克，需两种盐水各多少克？
解：
十字交叉：
30 45 60 ∣ 15 ∣ ∣ 15 \begin{array}{c} 30 \\ \hline 45 \\ 60 \end{array} \begin{array}{c} | \quad 15 \\ | \\ | \quad 15 \end{array} 304560∣15∣∣15 → 比例 15 : 15 = 1 : 1 15:15 = 1:1 15:15=1:1
∴ 各需 200 × 1 2 = 100 200 \times \frac{1}{2} = 100 200×21=100 克
四、利润问题
核心公式：
- 利润 = 售价 - 成本
- 利润率 = 利润 成本 × 100 % \frac{\text{利润}}{\text{成本}} \times 100\% 成本利润×100%
- 折扣公式：现价 = 原价 × 折扣率
例题：
商品成本100元，按50%利润率定价，后打8折出售，求实际利润率
解：
定价 = 100 × ( 1 + 50 % ) = 150 100 \times (1 + 50\%) = 150 100×(1+50%)=150 元
售价 = 150 × 80 % = 120 150 \times 80\% = 120 150×80%=120 元
利润 = 120 − 100 = 20 120 - 100 = 20 120−100=20 元
利润率 = 20 100 × 100 % = 20 % \frac{20}{100} \times 100\% = 20\% 10020×100%=20%
五、增长率问题
核心公式：
- 增长量 = 现期量 - 基期量
- 增长率 = 增长量 基期量 × 100 % \frac{\text{增长量}}{\text{基期量}} \times 100\% 基期量增长量×100%
- 连续增长：终值 = 初值 × ( 1 + r 1 ) ( 1 + r 2 ) (1 + r_1)(1 + r_2) (1+r1)(1+r2)
例题：
某商品2023年销量比2022年增长20%，2024年比2023年下降15%，求两年总增长率
解：
设2022年销量为 a a a
2024年销量 = a × ( 1 + 20 % ) × ( 1 − 15 % ) = a × 1.2 × 0.85 = 1.02 a a \times (1 + 20\%) \times (1 - 15\%) = a \times 1.2 \times 0.85 = 1.02a a×(1+20%)×(1−15%)=a×1.2×0.85=1.02a
∴ 总增长率 = 1.02 a − a a × 100 % = 2 % \frac{1.02a - a}{a} \times 100\% = 2\% a1.02a−a×100%=2%
六、比例与面积
核心结论：
- 相似图形面积比 = （相似比）²
- 等高三角形面积比 = 底边比
例题：
梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD交于O点，△AOD与△BOC面积比为1:4，求AD:BC
解：
∵ △AOD ∽ △BOC
∴ S △ A O D S △ B O C = ( A D B C ) 2 = 1 4 \frac{S_{\triangle AOD}}{S_{\triangle BOC}} = \left( \frac{AD}{BC} \right)^2 = \frac{1}{4} S△BOCS△AOD=(BCAD)2=41
→ A D B C = 1 2 \frac{AD}{BC} = \frac{1}{2} BCAD=21
七、行程问题（比例应用）
关键关系：
- 时间相同 → 路程比 = 速度比
- 速度相同 → 路程比 = 时间比
例题：
甲、乙速度比5:4，从两地相向而行，相遇时甲比乙多走10公里，求总路程
解：
相遇时路程比 = 速度比 = 5:4
甲比乙多走1份 → 10公里
总路程 = 5 + 4 = 9份 → 9 × 10 = 90 9 \times 10 = 90 9×10=90 公里
补充：综合压轴题（研考真题）
题目：
某溶液由A、B两种液体混合，A液浓度60%，B液浓度30%。混合后蒸发掉总量20%的水，浓度变为48%。求初始混合比例A:B。
分步解析：
- 设初始混合液总质量 m m m，A液占 k k k 份 → A质量 k m km km，B质量 ( 1 − k ) m (1-k)m (1−k)m
- 溶质总量 = 0.6 k m + 0.3 ( 1 − k ) m = ( 0.6 k + 0.3 − 0.3 k ) m = ( 0.3 k + 0.3 ) m 0.6km + 0.3(1-k)m = (0.6k + 0.3 - 0.3k)m = (0.3k + 0.3)m 0.6km+0.3(1−k)m=(0.6k+0.3−0.3k)m=(0.3k+0.3)m
- 蒸发后溶液质量 = m × ( 1 − 20 % ) = 0.8 m m \times (1 - 20\%) = 0.8m m×(1−20%)=0.8m
- 新浓度：
( 0.3 k + 0.3 ) m 0.8 m = 48 % = 0.48 \frac{(0.3k + 0.3)m}{0.8m} = 48\% = 0.48 0.8m(0.3k+0.3)m=48%=0.48 - 解方程：
0.3 k + 0.3 = 0.48 × 0.8 0.3k + 0.3 = 0.48 \times 0.8 0.3k+0.3=0.48×0.8
0.3 k + 0.3 = 0.384 0.3k + 0.3 = 0.384 0.3k+0.3=0.384
0.3 k = 0.084 0.3k = 0.084 0.3k=0.084
k = 0.28 k = 0.28 k=0.28
∴ A:B = k : ( 1 − k ) = 0.28 : 0.72 = 7 : 18 k : (1-k) = 0.28 : 0.72 = 7:18 k:(1−k)=0.28:0.72=7:18
学习建议：
- 熟记比例基本性质（交叉相乘、合分比定理）
- 浓度问题必练“十字交叉法”
- 利润问题区分“成本利润率”与“销售利润率”
- 行程问题画线段图辅助分析
附：各题型解题思维导图
# 比：两个数相除例如：某班有男生15人，女生10人，男女的比是？