线性代数（2）几何角度来理解线性方程组

我们从几何角度来理解线性方程组，通过具体的例子和图形展示方程的解的几何意义。线性方程组的解可以对应为 直线的交点、平面的交线 或 更高维的超平面交集。下面通过实例和图形逐步说明。

一、二元一次方程组（二维平面）
示例 1：唯一解（两直线相交）

 

y
|
3 +        L1: y = -x + 3|       /|      /|     /
1 +----• (2,1) |   / |  / L2: y = x - 1
-1+ /+------------------ x

 

几何解释：

两条直线斜率相同（-1），但截距不同（2 和 4）。

它们是 平行直线，没有交点，故方程组 无解。

图形表示：

y
|
4 +        L2: y = -x + 4|       /|      /
2 +     / L1: y = -x + 2|    /|   /|  /+------------------ x

示例 3：无穷多解（两直线重合）

图形表示

 

y
|
4 +        L1, L2: y = -2x + 4|       /|      /|     /|    /|   /|  /+------------------ x

二、三元一次方程组（三维空间）
示例 4：唯一解（三个平面交于一点）
 

 

 

 

 总结：几何意义
方程组类型    几何解释    解的个数
唯一解    直线/平面交于一点    1
无解    直线/平面平行或矛盾    0
无穷多解    直线/平面重合或交于一条线    ∞
最小二乘解（超定）    无交点，但找到最近近似解    最优近似解
通过几何视角，可以直观理解线性方程组的解是否存在、唯一或有无穷多解！