第六讲——一元函数微分学的应用之中值定理、微分等式与微分不等式

本章内容是考试的重中之重，分值最高占17分，而且多是难题——证明题

连续函数性质定理

$设f(x)在[a,b]上连续，则：$

定理1 有界与最值定理

$m\le f(x)\le M，其中m，M分别为f(x)在[a,b]上的最小值与最大值$
闭区间上连续函数必有界且能取到最大值最小值。

定理2 介值定理

$当m\le \mu \le M时，存在\xi \in [a,b]使得f(\xi )=\mu$
显然介值定理可以看作是有界与最值定理的变体。

定理3 平均值定理

当$a<x_1<x_2<\dots \dots <x_n<b时，在[x_1,x_n]内至少存在一点\xi$，使得
$$f(\xi )=\frac{f(x_1)+f(x_2)+\dots +f(x_n)}{n}$$

定理4 零点定理

$当f(a).f(b)<0时，存在\xi \in (a,b)，使得f(\xi )=0$
推广的零点定理： 若$f(x)在(a,b)内连续，{\lim }_{x\to a^{+}}f(x)=\alpha ，li{m}_{x\to b^{-}}f(x)=\beta ，且\alpha .\beta <0，则f(x)=0在(a,b)$内至少有一个根。
零点定理可以看作是介值定理的特例。

应用：实系数奇数次多项式方程至少有一个实根
首先设函数f(x)等于这个实系数奇数次多项式方程：
$$f(x)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_0(a_n\ne 0,n为奇数)$$

由$f(x)$的连续性及推广的零点定理可知，存在$\xi \in (-\infty ,+\infty )$，使$f(\xi )=0，即f(x)=0$至少有一个实根。

定理5 费马定理

若函数在$x_0处取得局部极值且可导，则f^{\prime }(x_0)=0$
证明：

导数介值定理(达布定理)

达布定理（Darboux’s Theorem）是微积分中的重要定理，它指出：​若函数$f(x)在闭区间[a,b]$上可导，则其导数$f^{\prime }(x)$具有介值性质。即对任意实数k满足$f^{\prime }(a)<k<f^{\prime }(b)（或f^{\prime }(a)>k>f^{\prime }(b))$，存在点$c\in (a,b)$ 使得$f^{\prime }(c)=k$。
不需要导数连续

中值定理

从连续到可导再到泰勒公式全都连起来了：

罗尔定理

简单的时候可以用暴力求解，但是如果再复杂一些呢？在这里不妨使用罗尔定理来求解。

拉格朗日中值定理

柯西中值定理

泰勒公式

讨论方程的根问题——微分等式

事实上，讨论方程$f(x)=0$的根就是讨论函数$f(x)$的零点，从几何上来讲也是讨论曲线之间的交点。通常可以考虑以下解法：

1. 零点定理
   可以用来证明根的存在性，若$f(x)在[a,b]上连续，且f(a).f(b)<0，则f(x)=0在(a,b)$内至少有一个根。
2. 单调性
   可以用来证明根的唯一性，若$f(x)在(a,b)内单调，则f(x)=0在(a,b)$内至多有一个根，这里区间$(a,b)$可以是有限区间也可以是无穷区间。这一步可以直接用求导解决。
3. 罗尔定理及其推论
   当不易使用零点定理时，可考虑罗尔定理及其推论。
   如果f(x)在区间$I上n$阶可导，且$f^n(x)\ne 0$，即$f^n(x)\ne 0无实根(至多有0个根）$，于是$f(x)=0至多有n个根$。
   证明：使用反证法，并多次使用罗尔定理。假设$f(x)=0在I上有n+1$个实根，即$f(x_1)=f(x_2)=...=f(x_{n+1})=0$
   不妨设$x_1<x_2<x_3<...<x_{n+1}$，在每个小区间使用罗尔定理，可知$f^{\prime }(x)=0$至少有$n$个实根。再次使用罗尔定理可知，$f^{\prime \prime }(x)=0至少有n-1$个实根；依次逐阶递推，则$f^n(x)=0$至少有1个实根，设为ξ，即$f^n(\xi )=0$。与题干矛盾，故假设不成立。原命题成立。
   事实上有更一般的结论，即罗尔原话：若$f^n(x)=0至多有k$个根，则$f(x)=0至多有k+n$个根。这个就像阶数换根数了。
   整体的解题步骤就是：先证根存在再证根唯一。

• 证明$2^x-x^2-1=0$有且仅有三个根

证明不等式问题

使用函数的性质(单调性、凹凸性、最值等)证明

例题如下：

• 证明当$0<x<\frac{\pi }{2}$时，有$sinx>\frac{2x}{\pi }$
  其实用自己的方法做对也行，不过也要开拓眼界，看一下别的方法：
  
• 证明：
  $$(ln\frac{1+x}{x}-\frac{1}{1+x}{)}^2<\frac{1}{x(1+x{)}^2}(x>0)$$
  
  

使用常数变量化证明不等式

如果题目中欲证的不等式中都是常数，则可以将其中一个或者几个常数变量化，再利用导数的性质去证明。

• 设$0<a<b$，证明不等式
  $$\frac{2a}{a^2+b^2}<\frac{lnb-lna}{b-a}<\frac{1}{\sqrt{ab}}$$

使用中值定理证明不等式

主要使用拉格朗日中值定理或者泰勒公式